Algebra Beispiele

$\frac{1}{| 2 x - 3 |} > 2$

Schritt 1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{1}{| 2 x - 3 |} - 2 > 0$

Schritt 2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{| 2 x - 3 |}{| 2 x - 3 |}$ .

$\frac{1}{| 2 x - 3 |} - 2 \cdot \frac{| 2 x - 3 |}{| 2 x - 3 |} > 0$

Schritt 3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{| 2 x - 3 |}{| 2 x - 3 |}$ .

$\frac{1}{| 2 x - 3 |} + \frac{- 2 | 2 x - 3 |}{| 2 x - 3 |} > 0$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1 - 2 | 2 x - 3 |}{| 2 x - 3 |} > 0$

Schritt 5

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$1 - 2 | 2 x - 3 | = 0$

$| 2 x - 3 | = 0$

Schritt 6

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 | 2 x - 3 | = - 1$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $- 2 | 2 x - 3 | = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 | 2 x - 3 | = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 | 2 x - 3 |}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 | 2 x - 3 |}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $| 2 x - 3 |$ durch $1$ .

$| 2 x - 3 | = \frac{- 1}{- 2}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$| 2 x - 3 | = \frac{1}{2}$

Schritt 8

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$2 x - 3 = \pm \frac{1}{2}$

Schritt 9

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$2 x - 3 = \frac{1}{2}$

Schritt 9.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = \frac{1}{2} + 3$

Schritt 9.2.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 9.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Schritt 9.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{1 + 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 9.2.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$2 x = \frac{1 + 6}{2}$

Schritt 9.2.5.2

Addiere $1$ und $6$ .

$2 x = \frac{7}{2}$

Schritt 9.3

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{7}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{7}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7}{2}}{2}$

Schritt 9.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7}{2}}{2}$

Schritt 9.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{7}{2}}{2}$

Schritt 9.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 9.3.3.2

Multipliziere $\frac{7}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.3.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{7}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.3.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{7}{4}$

Schritt 9.4

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$2 x - 3 = - \frac{1}{2}$

Schritt 9.5

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - \frac{1}{2} + 3$

Schritt 9.5.2

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$2 x = - \frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 9.5.3

Kombiniere $3$ und $\frac{2}{2}$ .

$2 x = - \frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Schritt 9.5.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$2 x = \frac{- 1 + 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 9.5.5

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.5.5.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$2 x = \frac{- 1 + 6}{2}$

Schritt 9.5.5.2

Addiere $- 1$ und $6$ .

$2 x = \frac{5}{2}$

Schritt 9.6

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{5}{2}$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = \frac{5}{2}$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5}{2}}{2}$

Schritt 9.6.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5}{2}}{2}$

Schritt 9.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\frac{5}{2}}{2}$

Schritt 9.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.6.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$x = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 9.6.3.2

Multipliziere $\frac{5}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.6.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{5}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5}{2 \cdot 2}$

Schritt 9.6.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{5}{4}$

Schritt 9.7

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \frac{7}{4}, \frac{5}{4}$

Schritt 10

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$2 x - 3 = \pm 0$

Schritt 11

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 12

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 13

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 13.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 13.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 13.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 14

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = \frac{7}{4}, \frac{5}{4}$

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 15

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{7}{4}, \frac{5}{4}, \frac{3}{2}$

Schritt 16

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{1}{| 2 x - 3 |} - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.1

Setze den Nenner in $\frac{1}{| 2 x - 3 |}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$| 2 x - 3 | = 0$

Schritt 16.2

Löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$2 x - 3 = \pm 0$

Schritt 16.2.2

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 16.2.3

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 16.2.4

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 16.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 16.2.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 16.2.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 16.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

Schritt 17

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{5}{4}$

$\frac{5}{4} < x < \frac{3}{2}$

$\frac{3}{2} < x < \frac{7}{4}$

$x > \frac{7}{4}$

Schritt 18

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{5}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{5}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 18.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{| 2 (0) - 3 |} > 2$

Schritt 18.1.3

Die linke Seite $0.\overline{3}$ ist nicht größer als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 18.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{5}{4} < x < \frac{3}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{5}{4} < x < \frac{3}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1.38$

Schritt 18.2.2

Ersetze $x$ durch $1.38$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{| 2 (1.38) - 3 |} > 2$

Schritt 18.2.3

Die linke Seite $4.1\overline{6}$ ist größer als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 18.3

Teste einen Wert im Intervall $\frac{3}{2} < x < \frac{7}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{3}{2} < x < \frac{7}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 1.62$

Schritt 18.3.2

Ersetze $x$ durch $1.62$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{| 2 (1.62) - 3 |} > 2$

Schritt 18.3.3

Die linke Seite $4.1\overline{6}$ ist größer als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 18.4

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{7}{4}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{7}{4}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 18.4.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{| 2 (4) - 3 |} > 2$

Schritt 18.4.3

Die linke Seite $0.2$ ist nicht größer als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 18.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{5}{4}$ Falsch

$\frac{5}{4} < x < \frac{3}{2}$ Wahr

$\frac{3}{2} < x < \frac{7}{4}$ Wahr

$x > \frac{7}{4}$ Falsch

$x < \frac{5}{4}$ Falsch

$\frac{5}{4} < x < \frac{3}{2}$ Wahr

$\frac{3}{2} < x < \frac{7}{4}$ Wahr

$x > \frac{7}{4}$ Falsch

Schritt 19

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{5}{4} < x < \frac{3}{2}$ oder $\frac{3}{2} < x < \frac{7}{4}$

Schritt 20

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$\frac{5}{4} < x < \frac{3}{2} or \frac{3}{2} < x < \frac{7}{4}$

Intervallschreibweise:

$(\frac{5}{4}, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \frac{7}{4})$

Schritt 21