Algebra Beispiele

$f (x) = 1 - 2^{x}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 1 - 2^{x}$ als Gleichung.

$y = 1 - 2^{x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 1 - 2^{y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $1 - 2^{y} = x$ um.

$1 - 2^{y} = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2^{y} = x - 1$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 2^{y} = x - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2^{y} = x - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- 2^{y}}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{2^{y}}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.3.2.2

Dividiere $2^{y}$ durch $1$ .

$2^{y} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x}{- 1}$ .

$2^{y} = - 1 \cdot x + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot x$ als $- x$ um.

$2^{y} = - x + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 3.3.3.1.3

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$2^{y} = - x + 1$

Schritt 3.4

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{y}) = \ln (- x + 1)$

Schritt 3.5

Zerlege $\ln (2^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (2) = \ln (- x + 1)$

Schritt 3.6

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (2) = \ln (- x + 1)$ durch $\ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (2) = \ln (- x + 1)$ durch $\ln (2)$ .

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}$

Schritt 3.6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 1 - 2^{x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (1 - 2^{x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = \frac{\ln (- (1 - 2^{x}) + 1)}{\ln (2)}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = \frac{\ln (- 1 \cdot 1 + 2^{x} + 1)}{\ln (2)}$

Schritt 5.2.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = \frac{\ln (- 1 + 2^{x} + 1)}{\ln (2)}$

Schritt 5.2.3.1.3

Multipliziere $- - 2^{x}$ .

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Schritt 5.2.3.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = \frac{\ln (- 1 + 1 \cdot 2^{x} + 1)}{\ln (2)}$

Schritt 5.2.3.1.3.2

Mutltipliziere $2^{x}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = \frac{\ln (- 1 + 2^{x} + 1)}{\ln (2)}$

Schritt 5.2.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 1 + 2^{x} + 1$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = \frac{\ln (0 + 2^{x})}{\ln (2)}$

Schritt 5.2.3.2.2

Addiere $0$ und $2^{x}$ .

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = \frac{\ln (2^{x})}{\ln (2)}$

Schritt 5.2.4

Zerlege $\ln (2^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = \frac{x \ln (2)}{\ln (2)}$

Schritt 5.2.5.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (1 - 2^{x}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}) = 1 - 2^{\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Nutze die Änderung der Basis-Regel $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}) = 1 - 2^{\log_{2} (- x + 1)}$

Schritt 5.3.3.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}) = 1 - (- x + 1)$

Schritt 5.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}) = 1 + x - 1 \cdot 1$

Schritt 5.3.3.4

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}) = 1 + 1 x - 1 \cdot 1$

Schritt 5.3.3.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}) = 1 + x - 1 \cdot 1$

Schritt 5.3.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}) = 1 + x - 1$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $1 + x - 1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 1 - 2^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (- x + 1)}{\ln (2)}$