Algebra Beispiele

$f (x) = - 2 \cdot 2^{\frac{1}{3} x} + 3$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = - 2 \cdot 2^{\frac{1}{3} x} + 3$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $- 2 \cdot 2^{\frac{1}{3} x} + 3 = 0$ um.

$- 2 \cdot 2^{\frac{1}{3} x} + 3 = 0$

Schritt 1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.2.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x$ .

$- 2 \cdot 2^{\frac{x}{3}} + 3 = 0$

Schritt 1.2.2.2

Multipliziere $- 2 \cdot 2^{\frac{x}{3}}$ .

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Schritt 1.2.2.2.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- (2 \cdot 2^{\frac{x}{3}}) + 3 = 0$

Schritt 1.2.2.2.2

Potenziere $2$ mit $1$ .

$- (2^{1} \cdot 2^{\frac{x}{3}}) + 3 = 0$

Schritt 1.2.2.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2^{1 + \frac{x}{3}} + 3 = 0$

Schritt 1.2.3

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2^{1 + \frac{x}{3}} = - 3$

Schritt 1.2.4

Teile jeden Ausdruck in $- 2^{1 + \frac{x}{3}} = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2^{1 + \frac{x}{3}} = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- 2^{1 + \frac{x}{3}}}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{2^{1 + \frac{x}{3}}}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 1.2.4.2.2

Dividiere $2^{1 + \frac{x}{3}}$ durch $1$ .

$2^{1 + \frac{x}{3}} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 1.2.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$2^{1 + \frac{x}{3}} = 3$

Schritt 1.2.5

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{1 + \frac{x}{3}}) = \ln (3)$

Schritt 1.2.6

Zerlege $\ln (2^{1 + \frac{x}{3}})$ durch Herausziehen von $1 + \frac{x}{3}$ aus dem Logarithmus.

$(1 + \frac{x}{3}) \ln (2) = \ln (3)$

Schritt 1.2.7

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.7.1

Vereinfache $(1 + \frac{x}{3}) \ln (2)$ .

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Schritt 1.2.7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$1 \ln (2) + \frac{x}{3} \ln (2) = \ln (3)$

Schritt 1.2.7.1.2

Mutltipliziere $\ln (2)$ mit $1$ .

$\ln (2) + \frac{x}{3} \ln (2) = \ln (3)$

Schritt 1.2.7.1.3

Kombiniere $\frac{x}{3}$ und $\ln (2)$ .

$\ln (2) + \frac{x \ln (2)}{3} = \ln (3)$

Schritt 1.2.8

Stelle $\ln (2)$ und $\frac{x \ln (2)}{3}$ um.

$\frac{x \ln (2)}{3} + \ln (2) = \ln (3)$

Schritt 1.2.9

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\frac{x \ln (2)}{3} + \ln (2) - \ln (3) = 0$

Schritt 1.2.10

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{x \ln (2)}{3} + \ln (\frac{2}{3}) = 0$

Schritt 1.2.11

Subtrahiere $\ln (\frac{2}{3})$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{x \ln (2)}{3} = - \ln (\frac{2}{3})$

Schritt 1.2.12

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 \frac{x \ln (2)}{3} = 3 (- \ln (\frac{2}{3}))$

Schritt 1.2.13

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 1.2.13.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.13.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.13.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 \frac{x \ln (2)}{3} = 3 (- \ln (\frac{2}{3}))$

Schritt 1.2.13.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x \ln (2) = 3 (- \ln (\frac{2}{3}))$

Schritt 1.2.13.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.13.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x \ln (2) = - 3 \ln (\frac{2}{3})$

Schritt 1.2.14

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = - 3 \ln (\frac{2}{3})$ durch $\ln (2)$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.14.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (2) = - 3 \ln (\frac{2}{3})$ durch $\ln (2)$ .

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 3 \ln (\frac{2}{3})}{\ln (2)}$

Schritt 1.2.14.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.14.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (2)$ .

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Schritt 1.2.14.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 3 \ln (\frac{2}{3})}{\ln (2)}$

Schritt 1.2.14.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3 \ln (\frac{2}{3})}{\ln (2)}$

Schritt 1.2.14.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.14.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{3 \ln (\frac{2}{3})}{\ln (2)}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{3 \ln (\frac{2}{3})}{\ln (2)}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = - 2 \cdot 2^{\frac{1}{3} \cdot (0)} + 3$

Schritt 2.2

Vereinfache $- 2 \cdot 2^{\frac{1}{3} \cdot (0)} + 3$ .

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $0$ .

$y = - 2 \cdot 2^{0} + 3$

Schritt 2.2.1.2

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$y = - 2 \cdot 1 + 3$

Schritt 2.2.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$y = - 2 + 3$

Schritt 2.2.2

Addiere $- 2$ und $3$ .

$y = 1$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 1)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(- \frac{3 \ln (\frac{2}{3})}{\ln (2)}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 1)$

Schritt 4