Algebra Beispiele

$3^{x + 1} + 3^{3 - x} = 30$

Schritt 1

Schreibe $3^{x + 1}$ als $3^{x} \cdot 3^{1}$ um.

$3^{x} \cdot 3 + 3^{3 - x} = 30$

Schritt 2

Schreibe $3^{3 - x}$ als $3^{3} \cdot 3^{- x}$ um.

$3^{x} \cdot 3 + 3^{3} \cdot 3^{- x} = 30$

Schritt 3

Schreibe $3^{- x}$ als Potenz um.

$3^{x} \cdot 3 + 3^{3} \cdot {(3^{x})}^{- 1} = 30$

Schritt 4

Ersetze $3^{x}$ durch $u$ .

$u \cdot 3 + 3^{3} \cdot u^{- 1} = 30$

Schritt 5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $u$ .

$3 \cdot u + 3^{3} \cdot u^{- 1} = 30$

Schritt 5.2

Potenziere $3$ mit $3$ .

$3 u + 27 \cdot u^{- 1} = 30$

Schritt 5.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 u + 27 \cdot \frac{1}{u} = 30$

Schritt 5.4

Kombiniere $27$ und $\frac{1}{u}$ .

$3 u + \frac{27}{u} = 30$

Schritt 6

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 6.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, u, 1$

Schritt 6.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$u$

Schritt 6.2

Multipliziere jeden Term in $3 u + \frac{27}{u} = 30$ mit $u$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 6.2.1

Multipliziere jeden Term in $3 u + \frac{27}{u} = 30$ mit $u$ .

$3 u \cdot u + \frac{27}{u} u = 30 u$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.2.1.1

Multipliziere $u$ mit $u$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.2.1.1.1

Bewege $u$ .

$3 (u \cdot u) + \frac{27}{u} u = 30 u$

Schritt 6.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $u$ mit $u$ .

$3 u^{2} + \frac{27}{u} u = 30 u$

Schritt 6.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $u$ .

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 u^{2} + \frac{27}{u} u = 30 u$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$3 u^{2} + 27 = 30 u$

Schritt 6.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Subtrahiere $30 u$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 u^{2} + 27 - 30 u = 0$

Schritt 6.3.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 6.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 u^{2} + 27 - 30 u$ heraus.

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Schritt 6.3.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 u^{2}$ heraus.

$3 (u^{2}) + 27 - 30 u = 0$

Schritt 6.3.2.1.2

Faktorisiere $3$ aus $27$ heraus.

$3 u^{2} + 3 \cdot 9 - 30 u = 0$

Schritt 6.3.2.1.3

Faktorisiere $3$ aus $- 30 u$ heraus.

$3 u^{2} + 3 \cdot 9 + 3 (- 10 u) = 0$

Schritt 6.3.2.1.4

Faktorisiere $3$ aus $3 u^{2} + 3 \cdot 9$ heraus.

$3 (u^{2} + 9) + 3 (- 10 u) = 0$

Schritt 6.3.2.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 (u^{2} + 9) + 3 (- 10 u)$ heraus.

$3 (u^{2} + 9 - 10 u) = 0$

Schritt 6.3.2.2

Faktorisiere.

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Schritt 6.3.2.2.1

Faktorisiere $u^{2} + 9 - 10 u$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 6.3.2.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $9$ und deren Summe $- 10$ ist.

$- 9, - 1$

Schritt 6.3.2.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$3 ((u - 9) (u - 1)) = 0$

Schritt 6.3.2.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$3 (u - 9) (u - 1) = 0$

Schritt 6.3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 9 = 0$

$u - 1 = 0$

Schritt 6.3.4

Setze $u - 9$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.3.4.1

Setze $u - 9$ gleich $0$ .

$u - 9 = 0$

Schritt 6.3.4.2

Addiere $9$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 9$

Schritt 6.3.5

Setze $u - 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 6.3.5.1

Setze $u - 1$ gleich $0$ .

$u - 1 = 0$

Schritt 6.3.5.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 1$

Schritt 6.3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $3 (u - 9) (u - 1) = 0$ wahr machen.

$u = 9, 1$

Schritt 7

Setze $9$ für $u$ in $u = 3^{x}$ ein.

$9 = 3^{x}$

Schritt 8

Löse $9 = 3^{x}$ .

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Schritt 8.1

Schreibe die Gleichung als $3^{x} = 9$ um.

$3^{x} = 9$

Schritt 8.2

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$3^{x} = 3^{2}$

Schritt 8.3

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 2$

Schritt 9

Setze $1$ für $u$ in $u = 3^{x}$ ein.

$1 = 3^{x}$

Schritt 10

Löse $1 = 3^{x}$ .

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Schritt 10.1

Schreibe die Gleichung als $3^{x} = 1$ um.

$3^{x} = 1$

Schritt 10.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

Schritt 10.3

Zerlege $\ln (3^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (3) = \ln (1)$

Schritt 10.4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.4.1

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$x \ln (3) = 0$

Schritt 10.5

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = 0$ durch $\ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 10.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x \ln (3) = 0$ durch $\ln (3)$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Schritt 10.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 10.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Schritt 10.5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

Schritt 10.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.5.3.1

Dividiere $0$ durch $\ln (3)$ .

$x = 0$

Schritt 11

Liste die Lösungen auf, die die Gleichung erfüllen.

$x = 2, 0$