Algebra Beispiele

$\frac{4}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1} = 0$

Schritt 1

Faktorisiere jeden Term.

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Schritt 1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{4}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{x^{2} - 1^{2}} = 0$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

${(x + 1)}^{2}, {(x - 1)}^{2}, (x + 1) (x - 1), 1$

Schritt 2.2

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.3

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.4

Das kgV von $1, 1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

Schritt 2.5

Die Teiler von $x + 1$ sind $(x + 1) \cdot (x + 1)$ , was $x + 1$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$(x + 1) = (x + 1) \cdot (x + 1)$

$(x + 1)$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 2.6

Die Teiler von $x - 1$ sind $(x - 1) \cdot (x - 1)$ , was $x - 1$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$(x - 1) = (x - 1) \cdot (x - 1)$

$(x - 1)$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 2.7

Der Teiler von $x + 1$ ist $x + 1$ selbst.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.8

Der Teiler von $x - 1$ ist $x - 1$ selbst.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ occurs $1$ time.

Schritt 2.9

Das kgV von ${(x + 1)}^{2}, {(x - 1)}^{2}, x + 1, x - 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Faktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{4}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$ mit ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{4}{{(x + 1)}^{2}} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} = 0$ mit ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{4}{{(x + 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x + 1)}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Faktorisiere ${(x + 1)}^{2}$ aus ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ heraus.

$\frac{4}{{(x + 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} ({(x - 1)}^{2})) - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

Schritt 3.2.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$4 {(x - 1)}^{2} - \frac{1}{{(x - 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Schritt 3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{{(x - 1)}^{2}}$ in den Zähler.

$4 {(x - 1)}^{2} + \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Schritt 3.2.1.2.2

Faktorisiere ${(x - 1)}^{2}$ aus ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ heraus.

$4 {(x - 1)}^{2} + \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}} ({(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}) + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Schritt 3.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(x - 1)}^{2} + \frac{- 1}{{(x - 1)}^{2}} ({(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{2}) + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Schritt 3.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Schritt 3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(x + 1) (x - 1)$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Faktorisiere $(x + 1) (x - 1)$ aus ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2}$ heraus.

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1))) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Schritt 3.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + \frac{1}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1) ((x + 1) (x - 1))) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Schritt 3.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + (x + 1) (x - 1) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Schritt 3.2.1.4

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x (x - 1) + 1 (x - 1) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Schritt 3.2.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1) = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Schritt 3.2.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Schritt 3.2.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.5.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1 = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Schritt 3.2.1.5.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1 = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Schritt 3.2.1.5.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1 = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Schritt 3.2.1.5.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1 = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Schritt 3.2.1.5.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} - x + x - 1 = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Schritt 3.2.1.5.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} + 0 - 1 = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Schritt 3.2.1.5.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} - 1 = 0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere $0 ({(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2})$ .

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere ${(x + 1)}^{2}$ mit $0$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} - 1 = 0 {(x - 1)}^{2}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit ${(x - 1)}^{2}$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} - 1 = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Gruppiere die Terme um.

$4 {(x - 1)}^{2} - {(x + 1)}^{2} + x^{2} - 1 = 0$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- {(x + 1)}^{2} + x^{2} - 1$ heraus.

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Schritt 4.1.2.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- {(x + 1)}^{2}$ heraus.

$4 {(x - 1)}^{2} - ({(x + 1)}^{2}) + x^{2} - 1 = 0$

Schritt 4.1.2.2

Faktorisiere $- 1$ aus $x^{2}$ heraus.

$4 {(x - 1)}^{2} - ({(x + 1)}^{2}) - 1 (- x^{2}) - 1 = 0$

Schritt 4.1.2.3

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$4 {(x - 1)}^{2} - ({(x + 1)}^{2}) - 1 (- x^{2}) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 4.1.2.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- ({(x + 1)}^{2}) - 1 (- x^{2})$ heraus.

$4 {(x - 1)}^{2} - ({(x + 1)}^{2} - x^{2}) - 1 \cdot 1 = 0$

Schritt 4.1.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- ({(x + 1)}^{2} - x^{2}) - 1 (1)$ heraus.

$4 {(x - 1)}^{2} - ({(x + 1)}^{2} - x^{2} + 1) = 0$

Schritt 4.1.3

Schreibe ${(x + 1)}^{2}$ als $(x + 1) (x + 1)$ um.

$4 {(x - 1)}^{2} - ((x + 1) (x + 1) - x^{2} + 1) = 0$

Schritt 4.1.4

Multipliziere $(x + 1) (x + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 {(x - 1)}^{2} - (x (x + 1) + 1 (x + 1) - x^{2} + 1) = 0$

Schritt 4.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$4 {(x - 1)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) - x^{2} + 1) = 0$

Schritt 4.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 {(x - 1)}^{2} - (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - x^{2} + 1) = 0$

Schritt 4.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.5.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - x^{2} + 1) = 0$

Schritt 4.1.5.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 - x^{2} + 1) = 0$

Schritt 4.1.5.1.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 - x^{2} + 1) = 0$

Schritt 4.1.5.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (x^{2} + x + x + 1 - x^{2} + 1) = 0$

Schritt 4.1.5.2

Addiere $x$ und $x$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} + 1) = 0$

Schritt 4.1.6

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (2 x + 1 + 0 + 1) = 0$

Schritt 4.1.7

Addiere $2 x$ und $0$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (2 x + 1 + 1) = 0$

Schritt 4.1.8

Addiere $1$ und $1$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - (2 x + 2) = 0$

Schritt 4.1.9

Faktorisiere.

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Schritt 4.1.9.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2$ heraus.

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Schritt 4.1.9.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$4 {(x - 1)}^{2} - (2 (x) + 2) = 0$

Schritt 4.1.9.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$4 {(x - 1)}^{2} - (2 (x) + 2 (1)) = 0$

Schritt 4.1.9.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (1)$ heraus.

$4 {(x - 1)}^{2} - (2 (x + 1)) = 0$

Schritt 4.1.9.2

Entferne unnötige Klammern.

$4 {(x - 1)}^{2} - 1 \cdot (2 (x + 1)) = 0$

Schritt 4.1.10

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - 2 (x + 1) = 0$

Schritt 4.1.11

Faktorisiere $2$ aus $4 {(x - 1)}^{2} - 2 (x + 1)$ heraus.

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Schritt 4.1.11.1

Faktorisiere $2$ aus $4 {(x - 1)}^{2}$ heraus.

$2 (2 {(x - 1)}^{2}) - 2 (x + 1) = 0$

Schritt 4.1.11.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 (x + 1)$ heraus.

$2 (2 {(x - 1)}^{2}) + 2 (- (x + 1)) = 0$

Schritt 4.1.11.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 {(x - 1)}^{2}) + 2 (- (x + 1))$ heraus.

$2 (2 {(x - 1)}^{2} - (x + 1)) = 0$

Schritt 4.1.12

Schreibe ${(x - 1)}^{2}$ als $(x - 1) (x - 1)$ um.

$2 (2 ((x - 1) (x - 1)) - (x + 1)) = 0$

Schritt 4.1.13

Multipliziere $(x - 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - (x + 1)) = 0$

Schritt 4.1.13.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - (x + 1)) = 0$

Schritt 4.1.13.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - (x + 1)) = 0$

Schritt 4.1.14

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.1.14.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.14.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$2 (2 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - (x + 1)) = 0$

Schritt 4.1.14.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 (2 (x^{2} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1) - (x + 1)) = 0$

Schritt 4.1.14.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$2 (2 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - (x + 1)) = 0$

Schritt 4.1.14.1.4

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$2 (2 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - (x + 1)) = 0$

Schritt 4.1.14.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 (2 (x^{2} - x - x + 1) - (x + 1)) = 0$

Schritt 4.1.14.2

Subtrahiere $x$ von $- x$ .

$2 (2 (x^{2} - 2 x + 1) - (x + 1)) = 0$

Schritt 4.1.15

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 x^{2} + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 1 - (x + 1)) = 0$

Schritt 4.1.16

Vereinfache.

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Schritt 4.1.16.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$2 (2 x^{2} - 4 x + 2 \cdot 1 - (x + 1)) = 0$

Schritt 4.1.16.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 (2 x^{2} - 4 x + 2 - (x + 1)) = 0$

Schritt 4.1.17

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (2 x^{2} - 4 x + 2 - x - 1 \cdot 1) = 0$

Schritt 4.1.18

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$2 (2 x^{2} - 4 x + 2 - x - 1) = 0$

Schritt 4.1.19

Subtrahiere $x$ von $- 4 x$ .

$2 (2 x^{2} - 5 x + 2 - 1) = 0$

Schritt 4.1.20

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$2 (2 x^{2} - 5 x + 1) = 0$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $2 (2 x^{2} - 5 x + 1) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (2 x^{2} - 5 x + 1) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - 5 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 x^{2} - 5 x + 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $2 x^{2} - 5 x + 1$ durch $1$ .

$2 x^{2} - 5 x + 1 = \frac{0}{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$2 x^{2} - 5 x + 1 = 0$

Schritt 4.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.4

Setze die Werte $a = 2$ , $b = - 5$ und $c = 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.5

Vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.5.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Schritt 4.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 8}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.5.1.3

Subtrahiere $8$ von $25$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 2}$

Schritt 4.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}$

Schritt 4.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{5 + \sqrt{17}}{4}, \frac{5 - \sqrt{17}}{4}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \frac{5 + \sqrt{17}}{4}, \frac{5 - \sqrt{17}}{4}$

Dezimalform:

$x = 2.28077640 \dots, 0.21922359 \dots$