Algebra Beispiele

$6 x^{3} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} - 4 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 1

Vereinfache $6 x^{3} {(x^{2} + 1)}^{- \frac{1}{2}} - 4 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x^{3} \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 4 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 1.1.2

Multipliziere $6 x^{3} \frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 1.1.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$x^{3} \frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 4 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 1.1.2.2

Kombiniere $x^{3}$ und $\frac{6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 6}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 4 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 1.1.3

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$\frac{6 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 4 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} = 0$

Schritt 1.2

Um $- 4 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{6 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} - 4 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.1

Kombiniere $- 4 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ und $\frac{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{6 x^{3}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 4 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6 x^{3} - 4 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 1.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $2 x$ aus $6 x^{3} - 4 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

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Schritt 1.4.1.1

Faktorisiere $2 x$ aus $6 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 x (3 x^{2}) - 4 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 1.4.1.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 4 x {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{2 x (3 x^{2}) + 2 x (- 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 1.4.1.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (3 x^{2}) + 2 x (- 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ heraus.

$\frac{2 x (3 x^{2} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 1.4.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 1.4.2.1

Multipliziere ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ mit ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.2.1.1

Bewege ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x (3 x^{2} - 2 ({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}))}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 1.4.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x (3 x^{2} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 1.4.2.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x (3 x^{2} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{1 + 1}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 1.4.2.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{2 x (3 x^{2} - 2 {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 1.4.2.1.5

Dividiere $2$ durch $2$ .

$\frac{2 x (3 x^{2} - 2 {(x^{2} + 1)}^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 1.4.2.2

Vereinfache $- 2 {(x^{2} + 1)}^{1}$ .

$\frac{2 x (3 x^{2} - 2 (x^{2} + 1))}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 1.4.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x (3 x^{2} - 2 x^{2} - 2 \cdot 1)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 1.4.3.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{2 x (3 x^{2} - 2 x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 1.4.4

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $3 x^{2}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 2)}{{(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Schritt 2

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x (x^{2} - 2) = 0$

Schritt 3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Schritt 3.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.3

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.1

Setze $x^{2} - 2$ gleich $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Schritt 3.3.2

Löse $x^{2} - 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 2$

Schritt 3.3.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{2}$

Schritt 3.3.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.3.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{2}$

Schritt 3.3.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{2}$

Schritt 3.3.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $2 x (x^{2} - 2) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Dezimalform:

$x = 0, 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots$