Algebra Beispiele

$x^{2} + 3 x + 7 = - | 2 x | + 12$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $- | 2 x | + 12 = x^{2} + 3 x + 7$ um.

$- | 2 x | + 12 = x^{2} + 3 x + 7$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die nicht $| 2 x |$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Subtrahiere $12$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- | 2 x | = x^{2} + 3 x + 7 - 12$

Schritt 2.2

Subtrahiere $12$ von $7$ .

$- | 2 x | = x^{2} + 3 x - 5$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $- | 2 x | = x^{2} + 3 x - 5$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $- | 2 x | = x^{2} + 3 x - 5$ durch $- 1$ .

$\frac{- | 2 x |}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{3 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{| 2 x |}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{3 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 3.2.2

Dividiere $| 2 x |$ durch $1$ .

$| 2 x | = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{3 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$| 2 x | = - 1 \cdot x^{2} + \frac{3 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$| 2 x | = - x^{2} + \frac{3 x}{- 1} + \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 3.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{3 x}{- 1}$ .

$| 2 x | = - x^{2} - 1 \cdot (3 x) + \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 3.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot (3 x)$ als $- (3 x)$ um.

$| 2 x | = - x^{2} - (3 x) + \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 3.3.1.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$| 2 x | = - x^{2} - 3 x + \frac{- 5}{- 1}$

Schritt 3.3.1.6

Dividiere $- 5$ durch $- 1$ .

$| 2 x | = - x^{2} - 3 x + 5$

Schritt 4

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$2 x = \pm (- x^{2} - 3 x + 5)$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$2 x = - x^{2} - 3 x + 5$

Schritt 5.2

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- x^{2} - 3 x + 5 = 2 x$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x^{2} - 3 x + 5 - 2 x = 0$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 3 x$ .

$- x^{2} - 5 x + 5 = 0$

Schritt 5.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.5

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = - 5$ und $c = 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{5 \pm \sqrt{{(- 5)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 5)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.6

Vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.6.1.1

Potenziere $- 5$ mit $2$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot - 1 \cdot 5}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot 5$ .

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Schritt 5.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 4 \cdot 5}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.6.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 20}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.6.1.3

Addiere $25$ und $20$ .

$x = \frac{5 \pm \sqrt{45}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.6.1.4

Schreibe $45$ als $3^{2} \cdot 5$ um.

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Schritt 5.6.1.4.1

Faktorisiere $9$ aus $45$ heraus.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{9 (5)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.6.1.4.2

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x = \frac{5 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 5}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 5.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x = \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{- 2}$

Schritt 5.6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{5 \pm 3 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 5.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{5 + 3 \sqrt{5}}{2}, - \frac{5 - 3 \sqrt{5}}{2}$

Schritt 5.8

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$2 x = - (- x^{2} - 3 x + 5)$

Schritt 5.9

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- (- x^{2} - 3 x + 5) = 2 x$

Schritt 5.10

Vereinfache $- (- x^{2} - 3 x + 5)$ .

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Schritt 5.10.1

Forme um.

$0 + 0 - (- x^{2} - 3 x + 5) = 2 x$

Schritt 5.10.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$- (- x^{2} - 3 x + 5) = 2 x$

Schritt 5.10.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- - x^{2} - (- 3 x) - 1 \cdot 5 = 2 x$

Schritt 5.10.4

Vereinfache.

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Schritt 5.10.4.1

Multipliziere $- - x^{2}$ .

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Schritt 5.10.4.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 x^{2} - (- 3 x) - 1 \cdot 5 = 2 x$

Schritt 5.10.4.1.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} - (- 3 x) - 1 \cdot 5 = 2 x$

Schritt 5.10.4.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$x^{2} + 3 x - 1 \cdot 5 = 2 x$

Schritt 5.10.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$x^{2} + 3 x - 5 = 2 x$

Schritt 5.11

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.11.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} + 3 x - 5 - 2 x = 0$

Schritt 5.11.2

Subtrahiere $2 x$ von $3 x$ .

$x^{2} + x - 5 = 0$

Schritt 5.12

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.13

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 1$ und $c = - 5$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 5)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.14

Vereinfache.

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Schritt 5.14.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.14.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.14.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 5$ .

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Schritt 5.14.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 5}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.14.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 5$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 20}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.14.1.3

Addiere $1$ und $20$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.14.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{21}}{2}$

Schritt 5.15

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{1 - \sqrt{21}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$

Schritt 5.16

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = - \frac{5 + 3 \sqrt{5}}{2}, - \frac{5 - 3 \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{21}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$

Schritt 6

Schließe die Lösungen aus, die $x^{2} + 3 x + 7 = - | 2 x | + 12$ nicht erfüllen.

$x = - \frac{5 - 3 \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{5 - 3 \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{21}}{2}$

Dezimalform:

$x = 0.85410196 \dots, - 2.79128784 \dots$