Algebra Beispiele

$y = e^{8 - x}$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = e^{8 - y}$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $e^{8 - y} = x$ um.

$e^{8 - y} = x$

Schritt 2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{8 - y}) = \ln (x)$

Schritt 2.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 2.3.1

Zerlege $\ln (e^{8 - y})$ durch Herausziehen von $8 - y$ aus dem Logarithmus.

$(8 - y) \ln (e) = \ln (x)$

Schritt 2.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(8 - y) \cdot 1 = \ln (x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $8 - y$ mit $1$ .

$8 - y = \ln (x)$

Schritt 2.4

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = \ln (x) - 8$

Schritt 2.5

Teile jeden Ausdruck in $- y = \ln (x) - 8$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = \ln (x) - 8$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (x)}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 2.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (x)}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 2.5.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 2.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (x)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (x) + \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 2.5.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \ln (x)$ als $- \ln (x)$ um.

$y = - \ln (x) + \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 2.5.3.1.3

Dividiere $- 8$ durch $- 1$ .

$y = - \ln (x) + 8$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \ln (x) + 8$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \ln (x) + 8$ die Umkehrfunktion von $f (x) = e^{8 - x}$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (e^{8 - x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - \ln (e^{8 - x}) + 8$

Schritt 4.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $8 - x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - ((8 - x) \ln (e)) + 8$

Schritt 4.2.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - ((8 - x) \cdot 1) + 8$

Schritt 4.2.3.3

Mutltipliziere $8 - x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - (8 - x) + 8$

Schritt 4.2.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - 1 \cdot 8 + x + 8$

Schritt 4.2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - 8 + x + 8$

Schritt 4.2.3.6

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 4.2.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - 8 + 1 x + 8$

Schritt 4.2.3.6.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = - 8 + x + 8$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 8 + x + 8$ .

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Schritt 4.2.4.1

Addiere $- 8$ und $8$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (e^{8 - x}) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (- \ln (x) + 8)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \ln (x) + 8) = e^{8 - (- \ln (x) + 8)}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \ln (x) + 8) = e^{8 + \ln (x) - 1 \cdot 8}$

Schritt 4.3.3.2

Multipliziere $- - \ln (x)$ .

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Schritt 4.3.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \ln (x) + 8) = e^{8 + 1 \ln (x) - 1 \cdot 8}$

Schritt 4.3.3.2.2

Mutltipliziere $\ln (x)$ mit $1$ .

$f (- \ln (x) + 8) = e^{8 + \ln (x) - 1 \cdot 8}$

Schritt 4.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$f (- \ln (x) + 8) = e^{8 + \ln (x) - 8}$

Schritt 4.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $8 + \ln (x) - 8$ .

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Schritt 4.3.4.1

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$f (- \ln (x) + 8) = e^{0 + \ln (x)}$

Schritt 4.3.4.2

Addiere $0$ und $\ln (x)$ .

$f (- \ln (x) + 8) = e^{\ln (x)}$

Schritt 4.3.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (- \ln (x) + 8) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \ln (x) + 8$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = e^{8 - x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \ln (x) + 8$