Algebra Beispiele

$\ln (x) - \ln (x + 2) = \ln (8 x)$

Schritt 1

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{x}{x + 2}) = \ln (8 x)$

Schritt 2

Damit die Gleichung erfüllt ist, müssen die Argumente der Logarithmen auf beiden Seiten der Gleichung gleich sein.

$\frac{x}{x + 2} = 8 x$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x + 2, 1$

Schritt 3.1.2

Entferne die Klammern.

$x + 2, 1$

Schritt 3.1.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x + 2$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{x}{x + 2} = 8 x$ mit $x + 2$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{x}{x + 2} = 8 x$ mit $x + 2$ .

$\frac{x}{x + 2} (x + 2) = 8 x (x + 2)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 2$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x}{x + 2} (x + 2) = 8 x (x + 2)$

Schritt 3.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x = 8 x (x + 2)$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 8 x \cdot x + 8 x \cdot 2$

Schritt 3.2.3.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.3.2.1

Bewege $x$ .

$x = 8 (x \cdot x) + 8 x \cdot 2$

Schritt 3.2.3.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x = 8 x^{2} + 8 x \cdot 2$

Schritt 3.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $8$ .

$x = 8 x^{2} + 16 x$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Da $x$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$8 x^{2} + 16 x = x$

Schritt 3.3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.2.1

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x^{2} + 16 x - x = 0$

Schritt 3.3.2.2

Subtrahiere $x$ von $16 x$ .

$8 x^{2} + 15 x = 0$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere $x$ aus $8 x^{2} + 15 x$ heraus.

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Schritt 3.3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $8 x^{2}$ heraus.

$x (8 x) + 15 x = 0$

Schritt 3.3.3.2

Faktorisiere $x$ aus $15 x$ heraus.

$x (8 x) + x \cdot 15 = 0$

Schritt 3.3.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x (8 x) + x \cdot 15$ heraus.

$x (8 x + 15) = 0$

Schritt 3.3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$8 x + 15 = 0$

Schritt 3.3.5

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.3.6

Setze $8 x + 15$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.6.1

Setze $8 x + 15$ gleich $0$ .

$8 x + 15 = 0$

Schritt 3.3.6.2

Löse $8 x + 15 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.3.6.2.1

Subtrahiere $15$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 x = - 15$

Schritt 3.3.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $8 x = - 15$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 x = - 15$ durch $8$ .

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 15}{8}$

Schritt 3.3.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.3.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 x}{8} = \frac{- 15}{8}$

Schritt 3.3.6.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 15}{8}$

Schritt 3.3.6.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.6.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{15}{8}$

Schritt 3.3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (8 x + 15) = 0$ wahr machen.

$x = 0, - \frac{15}{8}$

Schritt 4

Schließe die Lösungen aus, die $\ln (x) - \ln (x + 2) = \ln (8 x)$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$