Algebra Beispiele

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x^{2} + 3 x}{4 x^{2} - 1} \div \frac{3 + x}{4 x + 2}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x^{2} + 3 x}{4 x^{2} - 1} \cdot \frac{4 x + 2}{3 + x}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} + 3 x$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x \cdot x + 3 x}{4 x^{2} - 1} \cdot \frac{4 x + 2}{3 + x}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x \cdot x + x \cdot 3}{4 x^{2} - 1} \cdot \frac{4 x + 2}{3 + x}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot 3$ heraus.

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{4 x^{2} - 1} \cdot \frac{4 x + 2}{3 + x}$

Schritt 1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.1

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{{(2 x)}^{2} - 1} \cdot \frac{4 x + 2}{3 + x}$

Schritt 1.3.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{{(2 x)}^{2} - 1^{2}} \cdot \frac{4 x + 2}{3 + x}$

Schritt 1.3.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{4 x + 2}{3 + x}$

Schritt 1.4

Faktorisiere $2$ aus $4 x + 2$ heraus.

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{2 (2 x) + 2}{3 + x}$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{2 (2 x) + 2 (1)}{3 + x}$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{2 (2 x + 1)}{3 + x}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 x + 1$ .

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $2 x + 1$ aus $2 (2 x + 1)$ heraus.

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) \cdot 2}{3 + x}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} \cdot \frac{(2 x + 1) \cdot 2}{3 + x}$

Schritt 1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3)}{2 x - 1} \cdot \frac{2}{3 + x}$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $\frac{x (x + 3)}{2 x - 1}$ mit $\frac{2}{3 + x}$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3) \cdot 2}{(2 x - 1) (3 + x)}$

Schritt 1.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x + 3$ und $3 + x$ .

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Schritt 1.7.1

Stelle die Terme um.

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3) \cdot 2}{(2 x - 1) (x + 3)}$

Schritt 1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x (x + 3) \cdot 2}{(2 x - 1) (x + 3)}$

Schritt 1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{x \cdot 2}{2 x - 1}$

Schritt 1.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} + \frac{2 x}{2 x - 1}$

Schritt 2

Um $\frac{1 - 2 x}{2 x + 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} + \frac{2 x}{2 x - 1}$

Schritt 3

Um $\frac{2 x}{2 x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{1 - 2 x}{2 x + 1} \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} + \frac{2 x}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(2 x + 1) (2 x - 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1 - 2 x}{2 x + 1}$ mit $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{(1 - 2 x) (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} + \frac{2 x}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x + 1}{2 x + 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{2 x}{2 x - 1}$ mit $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$\frac{(1 - 2 x) (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} + \frac{2 x (2 x + 1)}{(2 x - 1) (2 x + 1)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(2 x - 1) (2 x + 1)$ um.

$\frac{(1 - 2 x) (2 x - 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)} + \frac{2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(1 - 2 x) (2 x - 1) + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Multipliziere $(1 - 2 x) (2 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (2 x - 1) - 2 x (2 x - 1) + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 6.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (2 x) + 1 \cdot - 1 - 2 x (2 x - 1) + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 (2 x) + 1 \cdot - 1 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 1 + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 6.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.1.1

Mutltipliziere $2 x$ mit $1$ .

$\frac{2 x + 1 \cdot - 1 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 1 + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 x (2 x) - 2 x \cdot - 1 + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 6.2.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 x - 1 - 2 \cdot 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 1 + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 6.2.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 1 + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 6.2.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{2 x - 1 - 2 \cdot 2 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 6.2.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{2 x - 1 - 4 x^{2} - 2 x \cdot - 1 + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 6.2.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{2 x - 1 - 4 x^{2} + 2 x + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 6.2.2

Addiere $2 x$ und $2 x$ .

$\frac{4 x - 1 - 4 x^{2} + 2 x (2 x + 1)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{4 x - 1 - 4 x^{2} + 2 x (2 x) + 2 x \cdot 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 6.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{4 x - 1 - 4 x^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{4 x - 1 - 4 x^{2} + 2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 6.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.6.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.6.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{4 x - 1 - 4 x^{2} + 2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 6.6.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{4 x - 1 - 4 x^{2} + 2 \cdot 2 x^{2} + 2 x}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 6.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 x - 1 - 4 x^{2} + 4 x^{2} + 2 x}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 6.7

Addiere $4 x$ und $2 x$ .

$\frac{- 1 - 4 x^{2} + 4 x^{2} + 6 x}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 6.8

Addiere $- 4 x^{2}$ und $4 x^{2}$ .

$\frac{- 1 + 0 + 6 x}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 6.9

Addiere $- 1$ und $0$ .

$\frac{- 1 + 6 x}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 7

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 7.1

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (1) + 6 x}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 7.2

Faktorisiere $- 1$ aus $6 x$ heraus.

$\frac{- 1 (1) - (- 6 x)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- 6 x)$ heraus.

$\frac{- 1 (1 - 6 x)}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$

Schritt 7.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1 - 6 x}{(2 x + 1) (2 x - 1)}$