Algebra Beispiele

$x + y = 50$ $x y = 300$

Schritt 1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = 50 - y$

$x y = 300$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $x$ durch $50 - y$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $x$ in $x y = 300$ durch $50 - y$ .

$(50 - y) \cdot y = 300$

$x = 50 - y$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $(50 - y) \cdot y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$50 y - y \cdot y = 300$

$x = 50 - y$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.1.2.1

Bewege $y$ .

$50 y - (y \cdot y) = 300$

$x = 50 - y$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$50 y - y^{2} = 300$

$x = 50 - y$

$50 y - y^{2} = 300$

$x = 50 - y$

$50 y - y^{2} = 300$

$x = 50 - y$

$50 y - y^{2} = 300$

$x = 50 - y$

$50 y - y^{2} = 300$

$x = 50 - y$

Schritt 3

Löse in $50 y - y^{2} = 300$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $300$ von beiden Seiten der Gleichung.

$50 y - y^{2} - 300 = 0$

$x = 50 - y$

Schritt 3.2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.3

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = 50$ und $c = - 300$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- 50 \pm \sqrt{50^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 300)}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.4

Vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1.1

Potenziere $50$ mit $2$ .

$y = \frac{- 50 \pm \sqrt{2500 - 4 \cdot - 1 \cdot - 300}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 300$ .

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Schritt 3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 50 \pm \sqrt{2500 + 4 \cdot - 300}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.4.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 300$ .

$y = \frac{- 50 \pm \sqrt{2500 - 1200}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

$y = \frac{- 50 \pm \sqrt{2500 - 1200}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.4.1.3

Subtrahiere $1200$ von $2500$ .

$y = \frac{- 50 \pm \sqrt{1300}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.4.1.4

Schreibe $1300$ als $10^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 3.4.1.4.1

Faktorisiere $100$ aus $1300$ heraus.

$y = \frac{- 50 \pm \sqrt{100 (13)}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.4.1.4.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$y = \frac{- 50 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 13}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

$y = \frac{- 50 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 13}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 50 \pm 10 \sqrt{13}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

$y = \frac{- 50 \pm 10 \sqrt{13}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 50 \pm 10 \sqrt{13}}{- 2}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.4.3

Vereinfache $\frac{- 50 \pm 10 \sqrt{13}}{- 2}$ .

$y = 25 \pm 5 \sqrt{13}$

$x = 50 - y$

$y = 25 \pm 5 \sqrt{13}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Potenziere $50$ mit $2$ .

$y = \frac{- 50 \pm \sqrt{2500 - 4 \cdot - 1 \cdot - 300}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 300$ .

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Schritt 3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 50 \pm \sqrt{2500 + 4 \cdot - 300}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.5.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 300$ .

$y = \frac{- 50 \pm \sqrt{2500 - 1200}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

$y = \frac{- 50 \pm \sqrt{2500 - 1200}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.5.1.3

Subtrahiere $1200$ von $2500$ .

$y = \frac{- 50 \pm \sqrt{1300}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.5.1.4

Schreibe $1300$ als $10^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 3.5.1.4.1

Faktorisiere $100$ aus $1300$ heraus.

$y = \frac{- 50 \pm \sqrt{100 (13)}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.5.1.4.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$y = \frac{- 50 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 13}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

$y = \frac{- 50 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 13}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 50 \pm 10 \sqrt{13}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

$y = \frac{- 50 \pm 10 \sqrt{13}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 50 \pm 10 \sqrt{13}}{- 2}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.5.3

Vereinfache $\frac{- 50 \pm 10 \sqrt{13}}{- 2}$ .

$y = 25 \pm 5 \sqrt{13}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.5.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = 25 + 5 \sqrt{13}$

$x = 50 - y$

$y = 25 + 5 \sqrt{13}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1.1

Potenziere $50$ mit $2$ .

$y = \frac{- 50 \pm \sqrt{2500 - 4 \cdot - 1 \cdot - 300}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.6.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 300$ .

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Schritt 3.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 50 \pm \sqrt{2500 + 4 \cdot - 300}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.6.1.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 300$ .

$y = \frac{- 50 \pm \sqrt{2500 - 1200}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

$y = \frac{- 50 \pm \sqrt{2500 - 1200}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.6.1.3

Subtrahiere $1200$ von $2500$ .

$y = \frac{- 50 \pm \sqrt{1300}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.6.1.4

Schreibe $1300$ als $10^{2} \cdot 13$ um.

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Schritt 3.6.1.4.1

Faktorisiere $100$ aus $1300$ heraus.

$y = \frac{- 50 \pm \sqrt{100 (13)}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.6.1.4.2

Schreibe $100$ als $10^{2}$ um.

$y = \frac{- 50 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 13}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

$y = \frac{- 50 \pm \sqrt{10^{2} \cdot 13}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.6.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{- 50 \pm 10 \sqrt{13}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

$y = \frac{- 50 \pm 10 \sqrt{13}}{2 \cdot - 1}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 50 \pm 10 \sqrt{13}}{- 2}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.6.3

Vereinfache $\frac{- 50 \pm 10 \sqrt{13}}{- 2}$ .

$y = 25 \pm 5 \sqrt{13}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.6.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = 25 - 5 \sqrt{13}$

$x = 50 - y$

$y = 25 - 5 \sqrt{13}$

$x = 50 - y$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 25 + 5 \sqrt{13}, 25 - 5 \sqrt{13}$

$x = 50 - y$

$y = 25 + 5 \sqrt{13}, 25 - 5 \sqrt{13}$

$x = 50 - y$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $25 + 5 \sqrt{13}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $y$ in $x = 50 - y$ durch $25 + 5 \sqrt{13}$ .

$x = 50 - (25 + 5 \sqrt{13})$

$y = 25 + 5 \sqrt{13}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $50 - (25 + 5 \sqrt{13})$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 50 - 1 \cdot 25 - (5 \sqrt{13})$

$y = 25 + 5 \sqrt{13}$

Schritt 4.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$x = 50 - 25 - (5 \sqrt{13})$

$y = 25 + 5 \sqrt{13}$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$x = 50 - 25 - 5 \sqrt{13}$

$y = 25 + 5 \sqrt{13}$

$x = 50 - 25 - 5 \sqrt{13}$

$y = 25 + 5 \sqrt{13}$

Schritt 4.2.1.2

Subtrahiere $25$ von $50$ .

$x = 25 - 5 \sqrt{13}$

$y = 25 + 5 \sqrt{13}$

$x = 25 - 5 \sqrt{13}$

$y = 25 + 5 \sqrt{13}$

$x = 25 - 5 \sqrt{13}$

$y = 25 + 5 \sqrt{13}$

$x = 25 - 5 \sqrt{13}$

$y = 25 + 5 \sqrt{13}$

Schritt 5

Ersetze alle Vorkommen von $y$ durch $25 - 5 \sqrt{13}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 5.1

Ersetze alle $y$ in $x = 50 - y$ durch $25 - 5 \sqrt{13}$ .

$x = 50 - (25 - 5 \sqrt{13})$

$y = 25 - 5 \sqrt{13}$

Schritt 5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $50 - (25 - 5 \sqrt{13})$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x = 50 - 1 \cdot 25 - (- 5 \sqrt{13})$

$y = 25 - 5 \sqrt{13}$

Schritt 5.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $25$ .

$x = 50 - 25 - (- 5 \sqrt{13})$

$y = 25 - 5 \sqrt{13}$

Schritt 5.2.1.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$x = 50 - 25 + 5 \sqrt{13}$

$y = 25 - 5 \sqrt{13}$

$x = 50 - 25 + 5 \sqrt{13}$

$y = 25 - 5 \sqrt{13}$

Schritt 5.2.1.2

Subtrahiere $25$ von $50$ .

$x = 25 + 5 \sqrt{13}$

$y = 25 - 5 \sqrt{13}$

$x = 25 + 5 \sqrt{13}$

$y = 25 - 5 \sqrt{13}$

$x = 25 + 5 \sqrt{13}$

$y = 25 - 5 \sqrt{13}$

$x = 25 + 5 \sqrt{13}$

$y = 25 - 5 \sqrt{13}$

Schritt 6

Die Lösung des Systems ist der vollständige Satz geordneter Paare, die gültige Lösungen sind.

$(25 - 5 \sqrt{13}, 25 + 5 \sqrt{13})$

$(25 + 5 \sqrt{13}, 25 - 5 \sqrt{13})$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Punkt-Form:

$(25 - 5 \sqrt{13}, 25 + 5 \sqrt{13}), (25 + 5 \sqrt{13}, 25 - 5 \sqrt{13})$

Gleichungsform:

$x = 25 - 5 \sqrt{13}, y = 25 + 5 \sqrt{13}$

$x = 25 + 5 \sqrt{13}, y = 25 - 5 \sqrt{13}$

Schritt 8