Algebra Beispiele

$\frac{\frac{a}{a - 1} - \frac{1 + a}{a}}{\frac{a - 1}{a} - \frac{a}{1 + a}}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $(a - 1) a (1 + a)$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{a}{a - 1} - \frac{1 + a}{a}}{\frac{a - 1}{a} - \frac{a}{1 + a}}$ mit $\frac{(a - 1) a (1 + a)}{(a - 1) a (1 + a)}$ .

$\frac{(a - 1) a (1 + a)}{(a - 1) a (1 + a)} \cdot \frac{\frac{a}{a - 1} - \frac{1 + a}{a}}{\frac{a - 1}{a} - \frac{a}{1 + a}}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{(a - 1) a (1 + a) (\frac{a}{a - 1} - \frac{1 + a}{a})}{(a - 1) a (1 + a) (\frac{a - 1}{a} - \frac{a}{1 + a})}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(a - 1) a (1 + a) \frac{a}{a - 1} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{1 + a}{a})}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a - 1$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $a - 1$ aus $(a - 1) a (1 + a)$ heraus.

$\frac{(a - 1) (a (1 + a)) \frac{a}{a - 1} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{1 + a}{a})}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(a - 1) (a (1 + a)) \frac{a}{a - 1} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{1 + a}{a})}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a (1 + a) a + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{1 + a}{a})}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Schritt 3.2

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{a^{1} a (1 + a) + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{1 + a}{a})}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Schritt 3.3

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{a^{1} a^{1} (1 + a) + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{1 + a}{a})}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Schritt 3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{a^{1 + 1} (1 + a) + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{1 + a}{a})}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Schritt 3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{1 + a}{a})}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 3.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1 + a}{a}$ in den Zähler.

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) a (1 + a) \frac{- (1 + a)}{a}}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Schritt 3.6.2

Faktorisiere $a$ aus $(a - 1) a (1 + a)$ heraus.

$\frac{a^{2} (1 + a) + a ((a - 1) (1 + a)) \frac{- (1 + a)}{a}}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Schritt 3.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a^{2} (1 + a) + a ((a - 1) (1 + a)) \frac{- (1 + a)}{a}}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Schritt 3.6.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (1 + a) (- (1 + a))}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Schritt 3.7

Potenziere $1 + a$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- ({(1 + a)}^{1} (1 + a)))}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Schritt 3.8

Potenziere $1 + a$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- ({(1 + a)}^{1} {(1 + a)}^{1}))}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Schritt 3.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{1 + 1})}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Schritt 3.10

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{(a - 1) a (1 + a) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Schritt 3.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 3.11.1

Faktorisiere $a$ aus $(a - 1) a (1 + a)$ heraus.

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{a ((a - 1) (1 + a)) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Schritt 3.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{a ((a - 1) (1 + a)) \frac{a - 1}{a} + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Schritt 3.11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{(a - 1) (1 + a) (a - 1) + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Schritt 3.12

Potenziere $a - 1$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{{(a - 1)}^{1} (a - 1) (1 + a) + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Schritt 3.13

Potenziere $a - 1$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{{(a - 1)}^{1} {(a - 1)}^{1} (1 + a) + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Schritt 3.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{{(a - 1)}^{1 + 1} (1 + a) + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Schritt 3.15

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) a (1 + a) (- \frac{a}{1 + a})}$

Schritt 3.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + a$ .

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Schritt 3.16.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{a}{1 + a}$ in den Zähler.

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) a (1 + a) \frac{- a}{1 + a}}$

Schritt 3.16.2

Faktorisiere $1 + a$ aus $(a - 1) a (1 + a)$ heraus.

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (1 + a) ((a - 1) a) \frac{- a}{1 + a}}$

Schritt 3.16.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (1 + a) ((a - 1) a) \frac{- a}{1 + a}}$

Schritt 3.16.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) a (- a)}$

Schritt 3.17

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- (a^{1} a))}$

Schritt 3.18

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- (a^{1} a^{1}))}$

Schritt 3.19

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{1 + 1})}$

Schritt 3.20

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $1 + a$ aus $a^{2} (1 + a) + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $1 + a$ aus $a^{2} (1 + a)$ heraus.

$\frac{(1 + a) a^{2} + (a - 1) (- {(1 + a)}^{2})}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $1 + a$ aus $(a - 1) (- {(1 + a)}^{2})$ heraus.

$\frac{(1 + a) a^{2} + (1 + a) ((a - 1) (- (1 + a)))}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $1 + a$ aus $(1 + a) a^{2} + (1 + a) ((a - 1) (- (1 + a)))$ heraus.

$\frac{(1 + a) (a^{2} + (a - 1) (- (1 + a)))}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1 + a) (a^{2} + (a - 1) (- 1 \cdot 1 - a))}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(1 + a) (a^{2} + (a - 1) (- 1 - a))}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Schritt 4.4

Multipliziere $(a - 1) (- 1 - a)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1 + a) (a^{2} + a (- 1 - a) - 1 (- 1 - a))}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Schritt 4.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1 + a) (a^{2} + a \cdot - 1 + a (- a) - 1 (- 1 - a))}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Schritt 4.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1 + a) (a^{2} + a \cdot - 1 + a (- a) - 1 \cdot - 1 - 1 (- a))}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Schritt 4.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.1.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $a$ .

$\frac{(1 + a) (a^{2} - 1 \cdot a + a (- a) - 1 \cdot - 1 - 1 (- a))}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Schritt 4.5.1.2

Schreibe $- 1 a$ als $- a$ um.

$\frac{(1 + a) (a^{2} - a + a (- a) - 1 \cdot - 1 - 1 (- a))}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Schritt 4.5.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{(1 + a) (a^{2} - a - a \cdot a - 1 \cdot - 1 - 1 (- a))}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Schritt 4.5.1.4

Multipliziere $a$ mit $a$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.5.1.4.1

Bewege $a$ .

$\frac{(1 + a) (a^{2} - a - (a \cdot a) - 1 \cdot - 1 - 1 (- a))}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Schritt 4.5.1.4.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{(1 + a) (a^{2} - a - a^{2} - 1 \cdot - 1 - 1 (- a))}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Schritt 4.5.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(1 + a) (a^{2} - a - a^{2} + 1 - 1 (- a))}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Schritt 4.5.1.6

Multipliziere $- 1 (- a)$ .

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Schritt 4.5.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{(1 + a) (a^{2} - a - a^{2} + 1 + 1 a)}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Schritt 4.5.1.6.2

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$\frac{(1 + a) (a^{2} - a - a^{2} + 1 + a)}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Schritt 4.5.2

Addiere $- a$ und $a$ .

$\frac{(1 + a) (a^{2} - a^{2} + 1 + 0)}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Schritt 4.5.3

Addiere $- a^{2}$ und $0$ .

$\frac{(1 + a) (a^{2} - a^{2} + 1)}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Schritt 4.6

Subtrahiere $a^{2}$ von $a^{2}$ .

$\frac{(1 + a) (0 + 1)}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Schritt 4.7

Addiere $0$ und $1$ .

$\frac{(1 + a) \cdot 1}{{(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $a - 1$ aus ${(a - 1)}^{2} (1 + a) + (a - 1) (- a^{2})$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $a - 1$ aus ${(a - 1)}^{2} (1 + a)$ heraus.

$\frac{(1 + a) \cdot 1}{(a - 1) ((a - 1) (1 + a)) + (a - 1) (- a^{2})}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $a - 1$ aus $(a - 1) ((a - 1) (1 + a)) + (a - 1) (- a^{2})$ heraus.

$\frac{(1 + a) \cdot 1}{(a - 1) ((a - 1) (1 + a) - a^{2})}$

Schritt 5.2

Multipliziere $(a - 1) (1 + a)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1 + a) \cdot 1}{(a - 1) (a (1 + a) - 1 (1 + a) - a^{2})}$

Schritt 5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1 + a) \cdot 1}{(a - 1) (a \cdot 1 + a \cdot a - 1 (1 + a) - a^{2})}$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(1 + a) \cdot 1}{(a - 1) (a \cdot 1 + a \cdot a - 1 \cdot 1 - 1 a - a^{2})}$

Schritt 5.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $a \cdot 1 + a \cdot a - 1 \cdot 1 - 1 a$ .

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Schritt 5.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $a \cdot 1$ und $- 1 a$ neu an.

$\frac{(1 + a) \cdot 1}{(a - 1) (1 a + a \cdot a - 1 \cdot 1 - 1 a - a^{2})}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $1 a$ von $1 a$ .

$\frac{(1 + a) \cdot 1}{(a - 1) (0 + a \cdot a - 1 \cdot 1 - a^{2})}$

Schritt 5.3.3

Addiere $0$ und $a \cdot a$ .

$\frac{(1 + a) \cdot 1}{(a - 1) (a \cdot a - 1 \cdot 1 - a^{2})}$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{(1 + a) \cdot 1}{(a - 1) (a^{2} - 1 \cdot 1 - a^{2})}$

Schritt 5.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{(1 + a) \cdot 1}{(a - 1) (a^{2} - 1 - a^{2})}$

Schritt 5.5

Subtrahiere $a^{2}$ von $a^{2}$ .

$\frac{(1 + a) \cdot 1}{(a - 1) (0 - 1)}$

Schritt 5.6

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{(1 + a) \cdot 1}{(a - 1) \cdot - 1}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $1 + a$ mit $1$ .

$\frac{1 + a}{(a - 1) \cdot - 1}$

Schritt 6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $a - 1$ .

$\frac{1 + a}{- 1 \cdot (a - 1)}$

Schritt 6.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1 + a}{a - 1}$