Algebra Beispiele

$\frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2} = \frac{a x^{2} + b x + c}{(4 x + 3) (7 x - 2)}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $\frac{a x^{2} + b x + c}{(4 x + 3) (7 x - 2)} = \frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}$ um.

$\frac{a x^{2} + b x + c}{(4 x + 3) (7 x - 2)} = \frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $(4 x + 3) (7 x - 2)$ .

$\frac{a x^{2} + b x + c}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2)) = (\frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(4 x + 3) (7 x - 2)$ .

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Schritt 3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a x^{2} + b x + c}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2)) = (\frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$a x^{2} + b x + c = (\frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache $(\frac{3 x - 5}{4 x + 3} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$ .

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Schritt 3.2.1.1

Um $\frac{3 x - 5}{4 x + 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7 x - 2}{7 x - 2}$ .

$a x^{2} + b x + c = (\frac{3 x - 5}{4 x + 3} \cdot \frac{7 x - 2}{7 x - 2} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.2

Um $\frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4 x + 3}{4 x + 3}$ .

$a x^{2} + b x + c = (\frac{3 x - 5}{4 x + 3} \cdot \frac{7 x - 2}{7 x - 2} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2} \cdot \frac{4 x + 3}{4 x + 3}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(4 x + 3) (7 x - 2)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.2.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{3 x - 5}{4 x + 3}$ mit $\frac{7 x - 2}{7 x - 2}$ .

$a x^{2} + b x + c = (\frac{(3 x - 5) (7 x - 2)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} + \frac{- 2 x + 1}{7 x - 2} \cdot \frac{4 x + 3}{4 x + 3}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{- 2 x + 1}{7 x - 2}$ mit $\frac{4 x + 3}{4 x + 3}$ .

$a x^{2} + b x + c = (\frac{(3 x - 5) (7 x - 2)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} + \frac{(- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(7 x - 2) (4 x + 3)}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(7 x - 2) (4 x + 3)$ um.

$a x^{2} + b x + c = (\frac{(3 x - 5) (7 x - 2)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} + \frac{(- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)}) ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$a x^{2} + b x + c = \frac{(3 x - 5) (7 x - 2) + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.1.5.1

Multipliziere $(3 x - 5) (7 x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a x^{2} + b x + c = \frac{3 x (7 x - 2) - 5 (7 x - 2) + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a x^{2} + b x + c = \frac{3 x (7 x) + 3 x \cdot - 2 - 5 (7 x - 2) + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a x^{2} + b x + c = \frac{3 x (7 x) + 3 x \cdot - 2 - 5 (7 x) - 5 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.1.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.5.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a x^{2} + b x + c = \frac{3 \cdot 7 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 5 (7 x) - 5 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.5.2.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.5.2.1.2.1

Bewege $x$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{3 \cdot 7 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 5 (7 x) - 5 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.5.2.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{3 \cdot 7 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 5 (7 x) - 5 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.5.2.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 5 (7 x) - 5 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.5.2.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 6 x - 5 (7 x) - 5 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.5.2.1.5

Mutltipliziere $7$ mit $- 5$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 6 x - 35 x - 5 \cdot - 2 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.5.2.1.6

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 2$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 6 x - 35 x + 10 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.5.2.2

Subtrahiere $35 x$ von $- 6 x$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 + (- 2 x + 1) (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.5.3

Multipliziere $(- 2 x + 1) (4 x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.2.1.5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 2 x (4 x + 3) + 1 (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.5.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 2 x (4 x) - 2 x \cdot 3 + 1 (4 x + 3)}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.5.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 2 x (4 x) - 2 x \cdot 3 + 1 (4 x) + 1 \cdot 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.5.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.2.1.5.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.5.4.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 2 \cdot 4 x \cdot x - 2 x \cdot 3 + 1 (4 x) + 1 \cdot 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.5.4.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.1.5.4.1.2.1

Bewege $x$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 2 \cdot 4 (x \cdot x) - 2 x \cdot 3 + 1 (4 x) + 1 \cdot 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.5.4.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 2 \cdot 4 x^{2} - 2 x \cdot 3 + 1 (4 x) + 1 \cdot 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.5.4.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 8 x^{2} - 2 x \cdot 3 + 1 (4 x) + 1 \cdot 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.5.4.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 8 x^{2} - 6 x + 1 (4 x) + 1 \cdot 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.5.4.1.5

Mutltipliziere $4 x$ mit $1$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 8 x^{2} - 6 x + 4 x + 1 \cdot 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.5.4.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 8 x^{2} - 6 x + 4 x + 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.5.4.2

Addiere $- 6 x$ und $4 x$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{21 x^{2} - 41 x + 10 - 8 x^{2} - 2 x + 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.5.5

Subtrahiere $8 x^{2}$ von $21 x^{2}$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{13 x^{2} - 41 x + 10 - 2 x + 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.5.6

Subtrahiere $2 x$ von $- 41 x$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{13 x^{2} - 43 x + 10 + 3}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.5.7

Addiere $10$ und $3$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{13 x^{2} - 43 x + 13}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(4 x + 3) (7 x - 2)$ .

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Schritt 3.2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a x^{2} + b x + c = \frac{13 x^{2} - 43 x + 13}{(4 x + 3) (7 x - 2)} ((4 x + 3) (7 x - 2))$

Schritt 3.2.1.6.2

Forme den Ausdruck um.

$a x^{2} + b x + c = 13 x^{2} - 43 x + 13$

Schritt 4

Löse nach $a$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die nicht $a$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $b x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a x^{2} + c = 13 x^{2} - 43 x + 13 - b x$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $c$ von beiden Seiten der Gleichung.

$a x^{2} = 13 x^{2} - 43 x + 13 - b x - c$

Schritt 4.2

Teile jeden Ausdruck in $a x^{2} = 13 x^{2} - 43 x + 13 - b x - c$ durch $x^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $a x^{2} = 13 x^{2} - 43 x + 13 - b x - c$ durch $x^{2}$ .

$\frac{a x^{2}}{x^{2}} = \frac{13 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 43 x}{x^{2}} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a x^{2}}{x^{2}} = \frac{13 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 43 x}{x^{2}} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Schritt 4.2.2.1.2

Dividiere $a$ durch $1$ .

$a = \frac{13 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 43 x}{x^{2}} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = \frac{13 x^{2}}{x^{2}} + \frac{- 43 x}{x^{2}} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Schritt 4.2.3.1.1.2

Dividiere $13$ durch $1$ .

$a = 13 + \frac{- 43 x}{x^{2}} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Schritt 4.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- 43 x$ heraus.

$a = 13 + \frac{x \cdot - 43}{x^{2}} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$a = 13 + \frac{x \cdot - 43}{x \cdot x} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Schritt 4.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = 13 + \frac{x \cdot - 43}{x \cdot x} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Schritt 4.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$a = 13 + \frac{- 43}{x} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Schritt 4.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = 13 - \frac{43}{x} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Schritt 4.2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{2}$ .

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Schritt 4.2.3.1.4.1

Faktorisiere $x$ aus $- b x$ heraus.

$a = 13 - \frac{43}{x} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{x (- b)}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Schritt 4.2.3.1.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.3.1.4.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$a = 13 - \frac{43}{x} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{x (- b)}{x \cdot x} + \frac{- c}{x^{2}}$

Schritt 4.2.3.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$a = 13 - \frac{43}{x} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{x (- b)}{x \cdot x} + \frac{- c}{x^{2}}$

Schritt 4.2.3.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$a = 13 - \frac{43}{x} + \frac{13}{x^{2}} + \frac{- b}{x} + \frac{- c}{x^{2}}$

Schritt 4.2.3.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = 13 - \frac{43}{x} + \frac{13}{x^{2}} - \frac{b}{x} + \frac{- c}{x^{2}}$

Schritt 4.2.3.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$a = 13 - \frac{43}{x} + \frac{13}{x^{2}} - \frac{b}{x} - \frac{c}{x^{2}}$