Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} + 36} \geq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x^{2} - 4 = 0$

$x^{2} + 36 = 0$

Schritt 2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 4$

Schritt 3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{4}$

Schritt 4

Vereinfache $\pm \sqrt{4}$ .

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Schritt 4.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Schritt 4.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 2$

Schritt 5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 2$

Schritt 5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 2$

Schritt 5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 2, - 2$

Schritt 6

Subtrahiere $36$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = - 36$

Schritt 7

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{- 36}$

Schritt 8

Vereinfache $\pm \sqrt{- 36}$ .

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Schritt 8.1

Schreibe $- 36$ als $- 1 (36)$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1 (36)}$

Schritt 8.2

Schreibe $\sqrt{- 1 (36)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$ um.

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{36}$

Schritt 8.3

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{36}$

Schritt 8.4

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$x = \pm i \cdot \sqrt{6^{2}}$

Schritt 8.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm i \cdot 6$

Schritt 8.6

Bringe $6$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \pm 6 i$

Schritt 9

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 9.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = 6 i$

Schritt 9.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - 6 i$

Schritt 9.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = 6 i, - 6 i$

Schritt 10

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 2, - 2$

$x = 6 i, - 6 i$

Schritt 11

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 2, - 2$

Schritt 12

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 13

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 13.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 13.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 4)}^{2} - 4}{{(- 4)}^{2} + 36} \geq 0$

Schritt 13.1.3

Die linke Seite $0.\overline{230769}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 13.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 13.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(0)}^{2} - 4}{{(0)}^{2} + 36} \geq 0$

Schritt 13.2.3

Die linke Seite $- 0.\overline{1}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 13.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 13.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 13.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(4)}^{2} - 4}{{(4)}^{2} + 36} \geq 0$

Schritt 13.3.3

Die linke Seite $0.\overline{230769}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 13.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

Schritt 14

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 2$ oder $x \geq 2$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \leq - 2 or x \geq 2$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

Schritt 16