Algebra Beispiele

$12 e^{2 x} - 5 = 17 e^{x}$

Schritt 1

Subtrahiere $17 e^{x}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$12 e^{2 x} - 5 - 17 e^{x} = 0$

Schritt 2

Schreibe $e^{2 x}$ als Potenz um.

$12 {(e^{x})}^{2} - 5 - 17 e^{x} = 0$

Schritt 3

Ersetze $e^{x}$ durch $u$ .

$12 u^{2} - 5 - 17 u = 0$

Schritt 4

Bewege $- 5$ .

$12 u^{2} - 17 u - 5 = 0$

Schritt 5

Löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 12 \cdot - 5 = - 60$ und deren Summe gleich $b = - 17$ ist.

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Schritt 5.1.1.1

Faktorisiere $- 17$ aus $- 17 u$ heraus.

$12 u^{2} - 17 u - 5 = 0$

Schritt 5.1.1.2

Schreibe $- 17$ um als $3$ plus $- 20$

$12 u^{2} + (3 - 20) u - 5 = 0$

Schritt 5.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$12 u^{2} + 3 u - 20 u - 5 = 0$

Schritt 5.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(12 u^{2} + 3 u) - 20 u - 5 = 0$

Schritt 5.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$3 u (4 u + 1) - 5 (4 u + 1) = 0$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $4 u + 1$ .

$(4 u + 1) (3 u - 5) = 0$

Schritt 5.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$4 u + 1 = 0$

$3 u - 5 = 0$

Schritt 5.3

Setze $4 u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.3.1

Setze $4 u + 1$ gleich $0$ .

$4 u + 1 = 0$

Schritt 5.3.2

Löse $4 u + 1 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$4 u = - 1$

Schritt 5.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $4 u = - 1$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 u = - 1$ durch $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 5.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 u}{4} = \frac{- 1}{4}$

Schritt 5.3.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{- 1}{4}$

Schritt 5.3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$u = - \frac{1}{4}$

Schritt 5.4

Setze $3 u - 5$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.4.1

Setze $3 u - 5$ gleich $0$ .

$3 u - 5 = 0$

Schritt 5.4.2

Löse $3 u - 5 = 0$ nach $u$ auf.

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Schritt 5.4.2.1

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 u = 5$

Schritt 5.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 u = 5$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 u = 5$ durch $3$ .

$\frac{3 u}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 5.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 u}{3} = \frac{5}{3}$

Schritt 5.4.2.2.2.1.2

Dividiere $u$ durch $1$ .

$u = \frac{5}{3}$

Schritt 5.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(4 u + 1) (3 u - 5) = 0$ wahr machen.

$u = - \frac{1}{4}, \frac{5}{3}$

Schritt 6

Setze $- \frac{1}{4}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$- \frac{1}{4} = e^{x}$

Schritt 7

Löse $- \frac{1}{4} = e^{x}$ .

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Schritt 7.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = - \frac{1}{4}$ um.

$e^{x} = - \frac{1}{4}$

Schritt 7.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (- \frac{1}{4})$

Schritt 7.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- \frac{1}{4})$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 7.4

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = - \frac{1}{4}$

Keine Lösung

Schritt 8

Setze $\frac{5}{3}$ für $u$ in $u = e^{x}$ ein.

$\frac{5}{3} = e^{x}$

Schritt 9

Löse $\frac{5}{3} = e^{x}$ .

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Schritt 9.1

Schreibe die Gleichung als $e^{x} = \frac{5}{3}$ um.

$e^{x} = \frac{5}{3}$

Schritt 9.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{5}{3})$

Schritt 9.3

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 9.3.1

Zerlege $\ln (e^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$x \ln (e) = \ln (\frac{5}{3})$

Schritt 9.3.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{5}{3})$

Schritt 9.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x = \ln (\frac{5}{3})$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = \ln (\frac{5}{3})$

Dezimalform:

$x = 0.51082562 \dots$