Algebra Beispiele

$4^{x} - 14 \cdot 2^{x} - 32 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Schreibe $4^{x}$ als ${(2^{2})}^{x}$ um.

${(2^{2})}^{x} - 14 \cdot 2^{x} - 32 = 0$

Schritt 1.2

Schreibe ${(2^{2})}^{x}$ als ${(2^{x})}^{2}$ um.

${(2^{x})}^{2} - 14 \cdot 2^{x} - 32 = 0$

Schritt 1.3

Es sei $u = 2^{x}$ . Ersetze $u$ für alle $2^{x}$ .

$u^{2} - 14 u - 32 = 0$

Schritt 1.4

Faktorisiere $u^{2} - 14 u - 32$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 1.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 32$ und deren Summe $- 14$ ist.

$- 16, 2$

Schritt 1.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(u - 16) (u + 2) = 0$

Schritt 1.5

Ersetze alle $u$ durch $2^{x}$ .

$(2^{x} - 16) (2^{x} + 2) = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2^{x} - 16 = 0$

$2^{x} + 2 = 0$

Schritt 3

Setze $2^{x} - 16$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $2^{x} - 16$ gleich $0$ .

$2^{x} - 16 = 0$

Schritt 3.2

Löse $2^{x} - 16 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2^{x} = 16$

Schritt 3.2.2

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$2^{x} = 2^{4}$

Schritt 3.2.3

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$x = 4$

Schritt 4

Setze $2^{x} + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $2^{x} + 2$ gleich $0$ .

$2^{x} + 2 = 0$

Schritt 4.2

Löse $2^{x} + 2 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2^{x} = - 2$

Schritt 4.2.2

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 2)$

Schritt 4.2.3

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (- 2)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 4.2.4

Es gibt keine Lösung für $2^{x} = - 2$

Keine Lösung

Schritt 5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2^{x} - 16) (2^{x} + 2) = 0$ wahr machen.

$x = 4$