Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} - 9}{y^{2} - 25} \div \frac{2 x^{2} - 6 x}{3 y^{2} - 15 y} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Um durch einen Bruch zu teilen, multipliziere mit seinem Kehrwert.

$\frac{x^{2} - 9}{y^{2} - 25} \cdot \frac{3 y^{2} - 15 y}{2 x^{2} - 6 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Schritt 1.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{y^{2} - 25} \cdot \frac{3 y^{2} - 15 y}{2 x^{2} - 6 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Schritt 1.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{y^{2} - 25} \cdot \frac{3 y^{2} - 15 y}{2 x^{2} - 6 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Schritt 1.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{y^{2} - 5^{2}} \cdot \frac{3 y^{2} - 15 y}{2 x^{2} - 6 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Schritt 1.3.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = y$ und $b = 5$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{3 y^{2} - 15 y}{2 x^{2} - 6 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Schritt 1.4

Faktorisiere $3 y$ aus $3 y^{2} - 15 y$ heraus.

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $3 y$ aus $3 y^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{3 y (y) - 15 y}{2 x^{2} - 6 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $3 y$ aus $- 15 y$ heraus.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{3 y (y) + 3 y (- 5)}{2 x^{2} - 6 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere $3 y$ aus $3 y (y) + 3 y (- 5)$ heraus.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{3 y (y - 5)}{2 x^{2} - 6 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Schritt 1.5

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{2} - 6 x$ heraus.

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Schritt 1.5.1

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{3 y (y - 5)}{2 x (x) - 6 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Schritt 1.5.2

Faktorisiere $2 x$ aus $- 6 x$ heraus.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{3 y (y - 5)}{2 x (x) + 2 x (- 3)} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Schritt 1.5.3

Faktorisiere $2 x$ aus $2 x (x) + 2 x (- 3)$ heraus.

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{3 y (y - 5)}{2 x (x - 3)} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Schritt 1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 3$ .

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Schritt 1.6.1

Faktorisiere $x - 3$ aus $(x + 3) (x - 3)$ heraus.

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{3 y (y - 5)}{2 x (x - 3)} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Schritt 1.6.2

Faktorisiere $x - 3$ aus $2 x (x - 3)$ heraus.

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{3 y (y - 5)}{(x - 3) (2 x)} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Schritt 1.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 3) (x + 3)}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{3 y (y - 5)}{(x - 3) (2 x)} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Schritt 1.6.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 3}{(y + 5) (y - 5)} \cdot \frac{3 y (y - 5)}{2 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Schritt 1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 5$ .

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere $y - 5$ aus $(y + 5) (y - 5)$ heraus.

$\frac{x + 3}{(y - 5) (y + 5)} \cdot \frac{3 y (y - 5)}{2 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Schritt 1.7.2

Faktorisiere $y - 5$ aus $3 y (y - 5)$ heraus.

$\frac{x + 3}{(y - 5) (y + 5)} \cdot \frac{(y - 5) (3 y)}{2 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Schritt 1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x + 3}{(y - 5) (y + 5)} \cdot \frac{(y - 5) (3 y)}{2 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Schritt 1.7.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x + 3}{y + 5} \cdot \frac{3 y}{2 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Schritt 1.8

Mutltipliziere $\frac{x + 3}{y + 5}$ mit $\frac{3 y}{2 x}$ .

$\frac{(x + 3) (3 y)}{(y + 5) (2 x)} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Schritt 1.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x + 3$ .

$\frac{3 \cdot (x + 3) y}{(y + 5) \cdot 2 x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Schritt 1.10

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y + 5$ .

$\frac{3 \cdot (x + 3) y}{2 \cdot (y + 5) x} + \frac{3 - 1.5 y}{y + 5}$

Schritt 1.11

Faktorisiere $1.5$ aus $3 - 1.5 y$ heraus.

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Schritt 1.11.1

Faktorisiere $1.5$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (x + 3) y}{2 (y + 5) x} + \frac{1.5 (2) - 1.5 y}{y + 5}$

Schritt 1.11.2

Faktorisiere $1.5$ aus $- 1.5 y$ heraus.

$\frac{3 (x + 3) y}{2 (y + 5) x} + \frac{1.5 (2) + 1.5 (- y)}{y + 5}$

Schritt 1.11.3

Faktorisiere $1.5$ aus $1.5 (2) + 1.5 (- y)$ heraus.

$\frac{3 (x + 3) y}{2 (y + 5) x} + \frac{1.5 (2 - y)}{y + 5}$

Schritt 2

Um $\frac{1.5 (2 - y)}{y + 5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 x}{2 x}$ .

$\frac{3 (x + 3) y}{2 (y + 5) x} + \frac{1.5 (2 - y)}{y + 5} \cdot \frac{2 x}{2 x}$

Schritt 3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $2 (y + 5) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $\frac{1.5 (2 - y)}{y + 5}$ mit $\frac{2 x}{2 x}$ .

$\frac{3 (x + 3) y}{2 (y + 5) x} + \frac{1.5 (2 - y) (2 x)}{(y + 5) (2 x)}$

Schritt 3.2

Stelle die Faktoren von $2 (y + 5) x$ um.

$\frac{3 (x + 3) y}{2 x (y + 5)} + \frac{1.5 (2 - y) (2 x)}{(y + 5) (2 x)}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren von $(y + 5) (2 x)$ um.

$\frac{3 (x + 3) y}{2 x (y + 5)} + \frac{1.5 (2 - y) (2 x)}{2 x (y + 5)}$

Schritt 4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 (x + 3) y + 1.5 (2 - y) (2 x)}{2 x (y + 5)}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $1.5$ aus $3 (x + 3) y + 1.5 (2 - y) \cdot 2 x$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Stelle den Ausdruck um.

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Schritt 5.1.1.1

Bewege $x + 3$ .

$\frac{3 y (x + 3) + 1.5 (2 - y) \cdot 2 x}{2 x (y + 5)}$

Schritt 5.1.1.2

Stelle $2$ und $- y$ um.

$\frac{3 y (x + 3) + 1.5 (- y + 2) \cdot 2 x}{2 x (y + 5)}$

Schritt 5.1.1.3

Bewege $- y + 2$ .

$\frac{3 y (x + 3) + 1.5 \cdot 2 x (- y + 2)}{2 x (y + 5)}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $1.5$ aus $3 y (x + 3)$ heraus.

$\frac{1.5 (2 y (x + 3)) + 1.5 \cdot 2 x (- y + 2)}{2 x (y + 5)}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $1.5$ aus $1.5 \cdot 2 x (- y + 2)$ heraus.

$\frac{1.5 (2 y (x + 3)) + 1.5 (2 x (- y + 2))}{2 x (y + 5)}$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere $1.5$ aus $1.5 (2 y (x + 3)) + 1.5 (2 x (- y + 2))$ heraus.

$\frac{1.5 (2 y (x + 3) + 2 x (- y + 2))}{2 x (y + 5)}$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2$ aus $2 y (x + 3) + 2 x (- y + 2)$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y (x + 3)$ heraus.

$\frac{1.5 (2 (y (x + 3)) + 2 x (- y + 2))}{2 x (y + 5)}$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 x (- y + 2)$ heraus.

$\frac{1.5 (2 (y (x + 3)) + 2 (x (- y + 2)))}{2 x (y + 5)}$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (y (x + 3)) + 2 (x (- y + 2))$ heraus.

$\frac{1.5 (2 (y (x + 3) + x (- y + 2)))}{2 x (y + 5)}$

Schritt 5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1.5 (2 (y x + y \cdot 3 + x (- y + 2)))}{2 x (y + 5)}$

Schritt 5.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{1.5 (2 (y x + 3 \cdot y + x (- y + 2)))}{2 x (y + 5)}$

Schritt 5.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1.5 (2 (y x + 3 y + x (- y) + x \cdot 2))}{2 x (y + 5)}$

Schritt 5.6

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1.5 (2 (y x + 3 y - x y + x \cdot 2))}{2 x (y + 5)}$

Schritt 5.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1.5 (2 (y x + 3 y - x y + 2 \cdot x))}{2 x (y + 5)}$

Schritt 5.8

Subtrahiere $x y$ von $y x$ .

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Schritt 5.8.1

Stelle $y$ und $x$ um.

$\frac{1.5 (2 (3 y + x y - x y + 2 x))}{2 x (y + 5)}$

Schritt 5.8.2

Subtrahiere $x y$ von $x y$ .

$\frac{1.5 (2 (3 y + 0 + 2 x))}{2 x (y + 5)}$

Schritt 5.9

Addiere $3 y$ und $0$ .

$\frac{1.5 \cdot 2 (3 y + 2 x)}{2 x (y + 5)}$

Schritt 5.10

Mutltipliziere $1.5$ mit $2$ .

$\frac{3 (3 y + 2 x)}{2 x (y + 5)}$

Schritt 6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $2$ .

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Schritt 6.1

Faktorisiere $1$ aus $3 (3 y + 2 x)$ heraus.

$\frac{1 (3 (3 y + 2 x))}{2 x (y + 5)}$

Schritt 6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.2.1

Faktorisiere $1$ aus $2 x (y + 5)$ heraus.

$\frac{1 (3 (3 y + 2 x))}{1 (2 x (y + 5))}$

Schritt 6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (3 (3 y + 2 x))}{1 (2 x (y + 5))}$

Schritt 6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 (3 y + 2 x)}{2 x (y + 5)}$