Algebra Beispiele

$8 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x + 1 = 0$

Schritt 1

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Gruppiere die Terme um.

$8 x^{3} + 1 + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Schritt 1.2

Schreibe $8 x^{3}$ als ${(2 x)}^{3}$ um.

${(2 x)}^{3} + 1 + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Schritt 1.3

Schreibe $1$ als $1^{3}$ um.

${(2 x)}^{3} + 1^{3} + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Schritt 1.4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$(2 x + 1) ({(2 x)}^{2} - 2 x \cdot 1 + 1^{2}) + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

$(2 x + 1) (2^{2} x^{2} - 2 x \cdot 1 + 1^{2}) + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Schritt 1.5.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x \cdot 1 + 1^{2}) + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Schritt 1.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x \cdot 1 + 1^{2}) + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Schritt 1.5.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1^{2}) + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Schritt 1.5.5

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1) + 12 x^{2} + 6 x = 0$

Schritt 1.6

Faktorisiere $6 x$ aus $12 x^{2} + 6 x$ heraus.

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Schritt 1.6.1

Faktorisiere $6 x$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1) + 6 x (2 x) + 6 x = 0$

Schritt 1.6.2

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x$ heraus.

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1) + 6 x (2 x) + 6 x (1) = 0$

Schritt 1.6.3

Faktorisiere $6 x$ aus $6 x (2 x) + 6 x (1)$ heraus.

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1) + 6 x (2 x + 1) = 0$

Schritt 1.7

Faktorisiere $2 x + 1$ aus $(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1) + 6 x (2 x + 1)$ heraus.

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Schritt 1.7.1

Faktorisiere $2 x + 1$ aus $6 x (2 x + 1)$ heraus.

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1) + (2 x + 1) (6 x) = 0$

Schritt 1.7.2

Faktorisiere $2 x + 1$ aus $(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1) + (2 x + 1) (6 x)$ heraus.

$(2 x + 1) (4 x^{2} - 2 x + 1 + 6 x) = 0$

Schritt 1.8

Addiere $- 2 x$ und $6 x$ .

$(2 x + 1) (4 x^{2} + 4 x + 1) = 0$

Schritt 1.9

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 1.9.1

Schreibe $4 x^{2}$ als ${(2 x)}^{2}$ um.

$(2 x + 1) ({(2 x)}^{2} + 4 x + 1) = 0$

Schritt 1.9.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(2 x + 1) ({(2 x)}^{2} + 4 x + 1^{2}) = 0$

Schritt 1.9.3

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 x = 2 \cdot (2 x) \cdot 1$

Schritt 1.9.4

Schreibe das Polynom neu.

$(2 x + 1) ({(2 x)}^{2} + 2 \cdot (2 x) \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Schritt 1.9.5

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 2 x$ und $b = 1$ .

$(2 x + 1) {(2 x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

${(2 x + 1)}^{2} = 0$

Schritt 3

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Setze $2 x + 1$ gleich $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Schritt 3.2

Löse $2 x + 1 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = - 1$

Schritt 3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = - 1$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Schritt 3.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x + 1) {(2 x + 1)}^{2} = 0$ wahr machen.

$x = - \frac{1}{2}$

Schritt 5

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$x = - \frac{1}{2}$

Dezimalform:

$x = - 0.5$