Algebra Beispiele

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{{(i - \sqrt{3})}^{2}}$

Schritt 1

Schreibe ${(i - \sqrt{3})}^{2}$ als $(i - \sqrt{3}) (i - \sqrt{3})$ um.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{(i - \sqrt{3}) (i - \sqrt{3})}$

Schritt 2

Multipliziere $(i - \sqrt{3}) (i - \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{i (i - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (i - \sqrt{3})}$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{i i + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (i - \sqrt{3})}$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{i i + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere $i i$ .

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Schritt 3.1.1.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{i^{1} i + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{i^{1} i^{1} + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Schritt 3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{i^{1 + 1} + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Schritt 3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{i^{2} + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Schritt 3.1.2

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}$

Schritt 3.1.3

Multipliziere $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Schritt 3.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.3.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + \sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.3.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 3.1.3.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 3.1.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.1.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 3.1.4

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + 3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + 3^{1}}$

Schritt 3.1.4.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 + i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + 3}$

Schritt 3.2

Addiere $- 1$ und $3$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{i (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} i + 2}$

Schritt 3.3

Stelle die Faktoren von $- \sqrt{3} i$ um.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{i (- \sqrt{3}) - i \sqrt{3} + 2}$

Schritt 3.4

Subtrahiere $i \sqrt{3}$ von $i (- \sqrt{3})$ .

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Schritt 3.4.1

Stelle $i$ und $- 1$ um.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 1 \cdot i \sqrt{3} - i \sqrt{3} + 2}$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $i \sqrt{3}$ von $- 1 \cdot i \sqrt{3}$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{- 2 i \sqrt{3} + 2}$

Schritt 4

Stelle $- 2 i \sqrt{3}$ und $2$ um.

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{2 - 2 i \sqrt{3}}$

Schritt 5

Mutltipliziere $\frac{3 + i \sqrt{3}}{2 - 2 i \sqrt{3}}$ mit $\frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{2 + 2 i \sqrt{3}}$ .

$\frac{3 + i \sqrt{3}}{2 - 2 i \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{2 + 2 i \sqrt{3}}$

Schritt 6

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $\frac{3 + i \sqrt{3}}{2 - 2 i \sqrt{3}}$ mit $\frac{2 + 2 i \sqrt{3}}{2 + 2 i \sqrt{3}}$ .

$\frac{(3 + i \sqrt{3}) (2 + 2 i \sqrt{3})}{(2 - 2 i \sqrt{3}) (2 + 2 i \sqrt{3})}$

Schritt 6.2

Multipliziere den Nenner aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

$\frac{(3 + i \sqrt{3}) (2 + 2 i \sqrt{3})}{4 + 4 (i \sqrt{3}) - 4 i \sqrt{3} - 4 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$\frac{(3 + i \sqrt{3}) (2 + 2 i \sqrt{3})}{16}$

Schritt 6.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 + 2 i \sqrt{3}$ und $16$ .

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Schritt 6.4.1

Faktorisiere $2$ aus $(3 + i \sqrt{3}) (2 + 2 i \sqrt{3})$ heraus.

$\frac{2 ((3 + i \sqrt{3}) (1 + i \sqrt{3}))}{16}$

Schritt 6.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{2 ((3 + i \sqrt{3}) (1 + i \sqrt{3}))}{2 (8)}$

Schritt 6.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 ((3 + i \sqrt{3}) (1 + i \sqrt{3}))}{2 \cdot 8}$

Schritt 6.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(3 + i \sqrt{3}) (1 + i \sqrt{3})}{8}$

Schritt 7

Multipliziere $(3 + i \sqrt{3}) (1 + i \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 (1 + i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} (1 + i \sqrt{3})}{8}$

Schritt 7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} (1 + i \sqrt{3})}{8}$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 \cdot 1 + 3 (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \cdot 1 + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{8}$

Schritt 8

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 8.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{3 + 3 (i \sqrt{3}) + i \sqrt{3} \cdot 1 + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{8}$

Schritt 8.1.2

Mutltipliziere $i$ mit $1$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i \sqrt{3} (i \sqrt{3})}{8}$

Schritt 8.1.3

Multipliziere $i \sqrt{3} (i \sqrt{3})$ .

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Schritt 8.1.3.1

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{1} i \sqrt{3} \sqrt{3}}{8}$

Schritt 8.1.3.2

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{1} i^{1} \sqrt{3} \sqrt{3}}{8}$

Schritt 8.1.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{1 + 1} \sqrt{3} \sqrt{3}}{8}$

Schritt 8.1.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}}{8}$

Schritt 8.1.3.5

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{8}$

Schritt 8.1.3.6

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{8}$

Schritt 8.1.3.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{8}$

Schritt 8.1.3.8

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{8}$

Schritt 8.1.4

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{8}$

Schritt 8.1.5

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 8.1.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

Schritt 8.1.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

Schritt 8.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{8}$

Schritt 8.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.1.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{8}$

Schritt 8.1.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3^{1}}{8}$

Schritt 8.1.5.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 1 \cdot 3}{8}$

Schritt 8.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{3 + 3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} - 3}{8}$

Schritt 8.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{3 i \sqrt{3} + i \sqrt{3} + 0}{8}$

Schritt 8.3

Addiere $3 i \sqrt{3}$ und $i \sqrt{3}$ .

$\frac{4 i \sqrt{3} + 0}{8}$

Schritt 8.4

Addiere $4 i \sqrt{3}$ und $0$ .

$\frac{4 i \sqrt{3}}{8}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $8$ .

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Schritt 9.1

Faktorisiere $4$ aus $4 i \sqrt{3}$ heraus.

$\frac{4 (i \sqrt{3})}{8}$

Schritt 9.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 9.2.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\frac{4 (i \sqrt{3})}{4 \cdot 2}$

Schritt 9.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (i \sqrt{3})}{4 \cdot 2}$

Schritt 9.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{i \sqrt{3}}{2}$