Algebra Beispiele

$\sqrt{25 y^{2} - 10 y + 1} = 7$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{25 y^{2} - 10 y + 1}}^{2} = 7^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{25 y^{2} - 10 y + 1}$ als ${(25 y^{2} - 10 y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(25 y^{2} - 10 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 7^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(25 y^{2} - 10 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(25 y^{2} - 10 y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(25 y^{2} - 10 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 7^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(25 y^{2} - 10 y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 7^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(25 y^{2} - 10 y + 1)}^{1} = 7^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$25 y^{2} - 10 y + 1 = 7^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$25 y^{2} - 10 y + 1 = 49$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Subtrahiere $49$ von beiden Seiten der Gleichung.

$25 y^{2} - 10 y + 1 - 49 = 0$

Schritt 3.2

Subtrahiere $49$ von $1$ .

$25 y^{2} - 10 y - 48 = 0$

Schritt 3.3

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 3.3.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 25 \cdot - 48 = - 1200$ und deren Summe gleich $b = - 10$ ist.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $- 10$ aus $- 10 y$ heraus.

$25 y^{2} - 10 y - 48 = 0$

Schritt 3.3.1.2

Schreibe $- 10$ um als $30$ plus $- 40$

$25 y^{2} + (30 - 40) y - 48 = 0$

Schritt 3.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$25 y^{2} + 30 y - 40 y - 48 = 0$

Schritt 3.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 3.3.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(25 y^{2} + 30 y) - 40 y - 48 = 0$

Schritt 3.3.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$5 y (5 y + 6) - 8 (5 y + 6) = 0$

Schritt 3.3.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $5 y + 6$ .

$(5 y + 6) (5 y - 8) = 0$

Schritt 3.4

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$5 y + 6 = 0$

$5 y - 8 = 0$

Schritt 3.5

Setze $5 y + 6$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.1

Setze $5 y + 6$ gleich $0$ .

$5 y + 6 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $5 y + 6 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.5.2.1

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 y = - 6$

Schritt 3.5.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 y = - 6$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y = - 6$ durch $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{- 6}{5}$

Schritt 3.5.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.5.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y}{5} = \frac{- 6}{5}$

Schritt 3.5.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 6}{5}$

Schritt 3.5.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{6}{5}$

Schritt 3.6

Setze $5 y - 8$ gleich $0$ und löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.6.1

Setze $5 y - 8$ gleich $0$ .

$5 y - 8 = 0$

Schritt 3.6.2

Löse $5 y - 8 = 0$ nach $y$ auf.

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Schritt 3.6.2.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 y = 8$

Schritt 3.6.2.2

Teile jeden Ausdruck in $5 y = 8$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y = 8$ durch $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{8}{5}$

Schritt 3.6.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.6.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y}{5} = \frac{8}{5}$

Schritt 3.6.2.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{8}{5}$

Schritt 3.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(5 y + 6) (5 y - 8) = 0$ wahr machen.

$y = - \frac{6}{5}, \frac{8}{5}$

Schritt 4

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$y = - \frac{6}{5}, \frac{8}{5}$

Dezimalform:

$y = - 1.2, 1.6$

Darstellung als gemischte Zahl:

$y = - 1 \frac{1}{5}, 1 \frac{3}{5}$