Algebra Beispiele

$| 2 x - 1 | > | 3 x + 5 |$

Schritt 1

Ersetze $>$ durch $=$ in $| 2 x - 1 | > | 3 x + 5 |$ .

$| 2 x - 1 | = | 3 x + 5 |$

Schritt 2

Schreibe die Betragsgleichung als vier Gleichungen ohne Absolutwerte.

$2 x - 1 = 3 x + 5$

$2 x - 1 = - (3 x + 5)$

$- (2 x - 1) = 3 x + 5$

$- (2 x - 1) = - (3 x + 5)$

Schritt 3

Nach dem Vereinfachen gibt es nur zwei eindeutige Gleichungen, die gelöst werden müssen.

$2 x - 1 = 3 x + 5$

$2 x - 1 = - (3 x + 5)$

Schritt 4

Löse $2 x - 1 = 3 x + 5$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.1.1

Subtrahiere $3 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - 1 - 3 x = 5$

Schritt 4.1.2

Subtrahiere $3 x$ von $2 x$ .

$- x - 1 = 5$

Schritt 4.2

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- x = 5 + 1$

Schritt 4.2.2

Addiere $5$ und $1$ .

$- x = 6$

Schritt 4.3

Teile jeden Ausdruck in $- x = 6$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = 6$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{6}{- 1}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{6}{- 1}$

Schritt 4.3.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{6}{- 1}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.3.1

Dividiere $6$ durch $- 1$ .

$x = - 6$

Schritt 5

Löse $2 x - 1 = - (3 x + 5)$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache $- (3 x + 5)$ .

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Schritt 5.1.1

Forme um.

$2 x - 1 = 0 + 0 - (3 x + 5)$

Schritt 5.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$2 x - 1 = - (3 x + 5)$

Schritt 5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x - 1 = - (3 x) - 1 \cdot 5$

Schritt 5.1.4

Multipliziere.

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Schritt 5.1.4.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$2 x - 1 = - 3 x - 1 \cdot 5$

Schritt 5.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$2 x - 1 = - 3 x - 5$

Schritt 5.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Addiere $3 x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x - 1 + 3 x = - 5$

Schritt 5.2.2

Addiere $2 x$ und $3 x$ .

$5 x - 1 = - 5$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - 5 + 1$

Schritt 5.3.2

Addiere $- 5$ und $1$ .

$5 x = - 4$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 4$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 4$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 4}{5}$

Schritt 5.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 4}{5}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{4}{5}$

Schritt 6

Liste alle Lösungen auf.

$x = - 6, - \frac{4}{5}$

Schritt 7

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 6$

$- 6 < x < - \frac{4}{5}$

$x > - \frac{4}{5}$

Schritt 8

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 8.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 6$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 6$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 8.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$| 2 (- 8) - 1 | > | 3 (- 8) + 5 |$

Schritt 8.1.3

Die linke Seite $17$ ist nicht größer als die rechte Seite $19$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.2

Teste einen Wert im Intervall $- 6 < x < - \frac{4}{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 6 < x < - \frac{4}{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 8.2.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$| 2 (- 3) - 1 | > | 3 (- 3) + 5 |$

Schritt 8.2.3

Die linke Seite $7$ ist größer als die rechte Seite $4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 8.3

Teste einen Wert im Intervall $x > - \frac{4}{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 8.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - \frac{4}{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 8.3.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$| 2 (0) - 1 | > | 3 (0) + 5 |$

Schritt 8.3.3

Die linke Seite $1$ ist nicht größer als die rechte Seite $5$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 8.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 6$ Falsch

$- 6 < x < - \frac{4}{5}$ Wahr

$x > - \frac{4}{5}$ Falsch

$x < - 6$ Falsch

$- 6 < x < - \frac{4}{5}$ Wahr

$x > - \frac{4}{5}$ Falsch

Schritt 9

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- 6 < x < - \frac{4}{5}$

Schritt 10

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- 6 < x < - \frac{4}{5}$

Intervallschreibweise:

$(- 6, - \frac{4}{5})$

Schritt 11