Algebra Beispiele

$\frac{a}{a - 6} - \frac{3}{a + 6} + \frac{a^{2}}{36 - a^{2}}$

Schritt 1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1

Schreibe $36$ als $6^{2}$ um.

$\frac{a}{a - 6} - \frac{3}{a + 6} + \frac{a^{2}}{6^{2} - a^{2}}$

Schritt 1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 6$ und $b = a$ .

$\frac{a}{a - 6} - \frac{3}{a + 6} + \frac{a^{2}}{(6 + a) (6 - a)}$

Schritt 2

Um $\frac{a}{a - 6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a + 6}{a + 6}$ .

$\frac{a}{a - 6} \cdot \frac{a + 6}{a + 6} - \frac{3}{a + 6} + \frac{a^{2}}{(6 + a) (6 - a)}$

Schritt 3

Um $- \frac{3}{a + 6}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{a - 6}{a - 6}$ .

$\frac{a}{a - 6} \cdot \frac{a + 6}{a + 6} - \frac{3}{a + 6} \cdot \frac{a - 6}{a - 6} + \frac{a^{2}}{(6 + a) (6 - a)}$

Schritt 4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(a - 6) (a + 6)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{a}{a - 6}$ mit $\frac{a + 6}{a + 6}$ .

$\frac{a (a + 6)}{(a - 6) (a + 6)} - \frac{3}{a + 6} \cdot \frac{a - 6}{a - 6} + \frac{a^{2}}{(6 + a) (6 - a)}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $\frac{3}{a + 6}$ mit $\frac{a - 6}{a - 6}$ .

$\frac{a (a + 6)}{(a - 6) (a + 6)} - \frac{3 (a - 6)}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a^{2}}{(6 + a) (6 - a)}$

Schritt 4.3

Stelle die Faktoren von $(a - 6) (a + 6)$ um.

$\frac{a (a + 6)}{(a + 6) (a - 6)} - \frac{3 (a - 6)}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a^{2}}{(6 + a) (6 - a)}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a (a + 6) - 3 (a - 6)}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a^{2}}{(6 + a) (6 - a)}$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a \cdot a + a \cdot 6 - 3 (a - 6)}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a^{2}}{(6 + a) (6 - a)}$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{a^{2} + a \cdot 6 - 3 (a - 6)}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a^{2}}{(6 + a) (6 - a)}$

Schritt 6.3

Bringe $6$ auf die linke Seite von $a$ .

$\frac{a^{2} + 6 \cdot a - 3 (a - 6)}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a^{2}}{(6 + a) (6 - a)}$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a^{2} + 6 a - 3 a - 3 \cdot - 6}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a^{2}}{(6 + a) (6 - a)}$

Schritt 6.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 6$ .

$\frac{a^{2} + 6 a - 3 a + 18}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a^{2}}{(6 + a) (6 - a)}$

Schritt 6.6

Subtrahiere $3 a$ von $6 a$ .

$\frac{a^{2} + 3 a + 18}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a^{2}}{(6 + a) (6 - a)}$

Schritt 7

Vereinfache Terme.

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Schritt 7.1

Stelle die Terme um.

$\frac{a^{2} + 3 a + 18}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a^{2}}{(a + 6) (6 - a)}$

Schritt 7.2

Schreibe $6$ als $- 1 (- 6)$ um.

$\frac{a^{2} + 3 a + 18}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a^{2}}{(a + 6) (- 1 (- 6) - a)}$

Schritt 7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- a$ heraus.

$\frac{a^{2} + 3 a + 18}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a^{2}}{(a + 6) (- 1 (- 6) - (a))}$

Schritt 7.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 6) - (a)$ heraus.

$\frac{a^{2} + 3 a + 18}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{a^{2}}{(a + 6) (- 1 (- 6 + a))}$

Schritt 7.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.5.1

Bewege ein Minuszeichen des Nenners von $\frac{a^{2}}{(a + 6) (- 1 (- 6 + a))}$ zum Zähler.

$\frac{a^{2} + 3 a + 18}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{- a^{2}}{(a + 6) (- 6 + a)}$

Schritt 7.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{a^{2} + 3 a + 18}{(a + 6) (a - 6)} + \frac{- a^{2}}{(a + 6) (a - 6)}$

Schritt 7.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{a^{2} + 3 a + 18 - a^{2}}{(a + 6) (a - 6)}$

Schritt 8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $a^{2}$ von $a^{2}$ .

$\frac{3 a + 18 + 0}{(a + 6) (a - 6)}$

Schritt 8.2

Addiere $3 a + 18$ und $0$ .

$\frac{3 a + 18}{(a + 6) (a - 6)}$

Schritt 8.3

Faktorisiere $3$ aus $3 a + 18$ heraus.

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Schritt 8.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 a$ heraus.

$\frac{3 (a) + 18}{(a + 6) (a - 6)}$

Schritt 8.3.2

Faktorisiere $3$ aus $18$ heraus.

$\frac{3 a + 3 \cdot 6}{(a + 6) (a - 6)}$

Schritt 8.3.3

Faktorisiere $3$ aus $3 a + 3 \cdot 6$ heraus.

$\frac{3 (a + 6)}{(a + 6) (a - 6)}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a + 6$ .

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (a + 6)}{(a + 6) (a - 6)}$

Schritt 9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3}{a - 6}$