Algebra Beispiele

$(\frac{a + b}{b} - \frac{a}{a + b}) \div (\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b})$

Schritt 1

Schreibe die Division um als einen Bruch.

$\frac{\frac{a + b}{b} - \frac{a}{a + b}}{\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b}}$

Schritt 2

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $b (a + b) a$ .

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Schritt 2.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{a + b}{b} - \frac{a}{a + b}}{\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b}}$ mit $\frac{b (a + b) a}{b (a + b) a}$ .

$\frac{b (a + b) a}{b (a + b) a} \cdot \frac{\frac{a + b}{b} - \frac{a}{a + b}}{\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b}}$

Schritt 2.2

Kombinieren.

$\frac{b (a + b) a (\frac{a + b}{b} - \frac{a}{a + b})}{b (a + b) a (\frac{a + b}{a} - \frac{b}{a + b})}$

Schritt 3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{b (a + b) a \frac{a + b}{b} + b (a + b) a (- \frac{a}{a + b})}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Schritt 4

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $b$ .

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $b$ aus $b (a + b) a$ heraus.

$\frac{b ((a + b) a) \frac{a + b}{b} + b (a + b) a (- \frac{a}{a + b})}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Schritt 4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{b ((a + b) a) \frac{a + b}{b} + b (a + b) a (- \frac{a}{a + b})}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Schritt 4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(a + b) a (a + b) + b (a + b) a (- \frac{a}{a + b})}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Schritt 4.2

Potenziere $a + b$ mit $1$ .

$\frac{a ({(a + b)}^{1} (a + b)) + b (a + b) a (- \frac{a}{a + b})}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Schritt 4.3

Potenziere $a + b$ mit $1$ .

$\frac{a ({(a + b)}^{1} {(a + b)}^{1}) + b (a + b) a (- \frac{a}{a + b})}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Schritt 4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{a {(a + b)}^{1 + 1} + b (a + b) a (- \frac{a}{a + b})}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Schritt 4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (a + b) a (- \frac{a}{a + b})}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Schritt 4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a + b$ .

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Schritt 4.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{a}{a + b}$ in den Zähler.

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (a + b) a \frac{- a}{a + b}}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Schritt 4.6.2

Faktorisiere $a + b$ aus $b (a + b) a$ heraus.

$\frac{a {(a + b)}^{2} + (a + b) (b a) \frac{- a}{a + b}}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Schritt 4.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a {(a + b)}^{2} + (a + b) (b a) \frac{- a}{a + b}}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Schritt 4.6.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b a (- a)}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Schritt 4.7

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- (a^{1} a))}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Schritt 4.8

Potenziere $a$ mit $1$ .

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- (a^{1} a^{1}))}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Schritt 4.9

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{1 + 1})}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Schritt 4.10

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{b (a + b) a \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Schritt 4.11

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 4.11.1

Faktorisiere $a$ aus $b (a + b) a$ heraus.

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{a (b (a + b)) \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Schritt 4.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{a (b (a + b)) \frac{a + b}{a} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Schritt 4.11.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{b (a + b) (a + b) + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Schritt 4.12

Potenziere $a + b$ mit $1$ .

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{b ({(a + b)}^{1} (a + b)) + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Schritt 4.13

Potenziere $a + b$ mit $1$ .

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{b ({(a + b)}^{1} {(a + b)}^{1}) + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Schritt 4.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{b {(a + b)}^{1 + 1} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Schritt 4.15

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{b {(a + b)}^{2} + b (a + b) a (- \frac{b}{a + b})}$

Schritt 4.16

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a + b$ .

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Schritt 4.16.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{b}{a + b}$ in den Zähler.

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{b {(a + b)}^{2} + b (a + b) a \frac{- b}{a + b}}$

Schritt 4.16.2

Faktorisiere $a + b$ aus $b (a + b) a$ heraus.

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{b {(a + b)}^{2} + (a + b) (b a) \frac{- b}{a + b}}$

Schritt 4.16.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{b {(a + b)}^{2} + (a + b) (b a) \frac{- b}{a + b}}$

Schritt 4.16.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{b {(a + b)}^{2} + b a (- b)}$

Schritt 4.17

Potenziere $b$ mit $1$ .

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{b {(a + b)}^{2} + a (- (b^{1} b))}$

Schritt 4.18

Potenziere $b$ mit $1$ .

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{b {(a + b)}^{2} + a (- (b^{1} b^{1}))}$

Schritt 4.19

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{1 + 1})}$

Schritt 4.20

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Schritt 5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $a$ aus $a {(a + b)}^{2} + b (- a^{2})$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $a$ aus $a {(a + b)}^{2}$ heraus.

$\frac{a ({(a + b)}^{2}) + b (- a^{2})}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $a$ aus $b (- a^{2})$ heraus.

$\frac{a ({(a + b)}^{2}) + a (b (- a))}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $a$ aus $a ({(a + b)}^{2}) + a (b (- a))$ heraus.

$\frac{a ({(a + b)}^{2} + b (- a))}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Schritt 5.2

Schreibe ${(a + b)}^{2}$ als $(a + b) (a + b)$ um.

$\frac{a ((a + b) (a + b) + b (- a))}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Schritt 5.3

Multipliziere $(a + b) (a + b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a (a (a + b) + b (a + b) + b (- a))}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Schritt 5.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a (a \cdot a + a b + b (a + b) + b (- a))}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Schritt 5.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a (a \cdot a + a b + b a + b \cdot b + b (- a))}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Schritt 5.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{a (a^{2} + a b + b a + b \cdot b + b (- a))}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Schritt 5.4.1.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$\frac{a (a^{2} + a b + b a + b^{2} + b (- a))}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Schritt 5.4.2

Addiere $a b$ und $b a$ .

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Schritt 5.4.2.1

Stelle $b$ und $a$ um.

$\frac{a (a^{2} + a b + a b + b^{2} + b (- a))}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Schritt 5.4.2.2

Addiere $a b$ und $a b$ .

$\frac{a (a^{2} + 2 a b + b^{2} + b (- a))}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Schritt 5.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{a (a^{2} + 2 a b + b^{2} - b a)}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Schritt 5.6

Subtrahiere $b a$ von $2 a b$ .

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Schritt 5.6.1

Bewege $b$ .

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + 2 a b - a b)}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Schritt 5.6.2

Subtrahiere $a b$ von $2 a b$ .

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + 1 a b)}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Schritt 5.7

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})}$

Schritt 6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $b$ aus $b {(a + b)}^{2} + a (- b^{2})$ heraus.

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Schritt 6.1.1

Faktorisiere $b$ aus $b {(a + b)}^{2}$ heraus.

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b ({(a + b)}^{2}) + a (- b^{2})}$

Schritt 6.1.2

Faktorisiere $b$ aus $a (- b^{2})$ heraus.

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b ({(a + b)}^{2}) + b (a (- b))}$

Schritt 6.1.3

Faktorisiere $b$ aus $b ({(a + b)}^{2}) + b (a (- b))$ heraus.

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b ({(a + b)}^{2} + a (- b))}$

Schritt 6.2

Schreibe ${(a + b)}^{2}$ als $(a + b) (a + b)$ um.

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b ((a + b) (a + b) + a (- b))}$

Schritt 6.3

Multipliziere $(a + b) (a + b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 6.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b (a (a + b) + b (a + b) + a (- b))}$

Schritt 6.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b (a \cdot a + a b + b (a + b) + a (- b))}$

Schritt 6.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b (a \cdot a + a b + b a + b \cdot b + a (- b))}$

Schritt 6.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 6.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b (a^{2} + a b + b a + b \cdot b + a (- b))}$

Schritt 6.4.1.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b (a^{2} + a b + b a + b^{2} + a (- b))}$

Schritt 6.4.2

Addiere $a b$ und $b a$ .

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Schritt 6.4.2.1

Stelle $b$ und $a$ um.

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b (a^{2} + a b + a b + b^{2} + a (- b))}$

Schritt 6.4.2.2

Addiere $a b$ und $a b$ .

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b (a^{2} + 2 a b + b^{2} + a (- b))}$

Schritt 6.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b (a^{2} + 2 a b + b^{2} - a b)}$

Schritt 6.6

Subtrahiere $a b$ von $2 a b$ .

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b (a^{2} + b^{2} + 1 a b)}$

Schritt 6.7

Mutltipliziere $a$ mit $1$ .

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b (a^{2} + b^{2} + a b)}$

Schritt 7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a^{2} + b^{2} + a b$ .

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a (a^{2} + b^{2} + a b)}{b (a^{2} + b^{2} + a b)}$

Schritt 7.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a}{b}$