Algebra Beispiele

$8 x^{5} - 25 y^{3} + 80 x^{4} - x^{2} y^{3} + 200 x^{3} - 10 x y^{3}$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$8 x^{5} + 80 x^{4} + 200 x^{3} - 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Schritt 2

Faktorisiere $8 x^{3}$ aus $8 x^{5} + 80 x^{4} + 200 x^{3}$ heraus.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $8 x^{3}$ aus $8 x^{5}$ heraus.

$8 x^{3} (x^{2}) + 80 x^{4} + 200 x^{3} - 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Schritt 2.2

Faktorisiere $8 x^{3}$ aus $80 x^{4}$ heraus.

$8 x^{3} (x^{2}) + 8 x^{3} (10 x) + 200 x^{3} - 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Schritt 2.3

Faktorisiere $8 x^{3}$ aus $200 x^{3}$ heraus.

$8 x^{3} (x^{2}) + 8 x^{3} (10 x) + 8 x^{3} (25) - 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Schritt 2.4

Faktorisiere $8 x^{3}$ aus $8 x^{3} (x^{2}) + 8 x^{3} (10 x)$ heraus.

$8 x^{3} (x^{2} + 10 x) + 8 x^{3} (25) - 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Schritt 2.5

Faktorisiere $8 x^{3}$ aus $8 x^{3} (x^{2} + 10 x) + 8 x^{3} (25)$ heraus.

$8 x^{3} (x^{2} + 10 x + 25) - 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Schritt 3

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.1

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$8 x^{3} (x^{2} + 10 x + 5^{2}) - 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Schritt 3.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Schritt 3.3

Schreibe das Polynom neu.

$8 x^{3} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}) - 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Schritt 3.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 5$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} - 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Schritt 4

Faktorisiere $y^{3}$ aus $- 25 y^{3} - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$ heraus.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $y^{3}$ aus $- 25 y^{3}$ heraus.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot - 25 - x^{2} y^{3} - 10 x y^{3}$

Schritt 4.2

Faktorisiere $y^{3}$ aus $- x^{2} y^{3}$ heraus.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot - 25 + y^{3} (- x^{2}) - 10 x y^{3}$

Schritt 4.3

Faktorisiere $y^{3}$ aus $- 10 x y^{3}$ heraus.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot - 25 + y^{3} (- x^{2}) + y^{3} (- 10 x)$

Schritt 4.4

Faktorisiere $y^{3}$ aus $y^{3} \cdot - 25 + y^{3} (- x^{2})$ heraus.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot (- 25 - x^{2}) + y^{3} (- 10 x)$

Schritt 4.5

Faktorisiere $y^{3}$ aus $y^{3} \cdot (- 25 - x^{2}) + y^{3} (- 10 x)$ heraus.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- 25 - x^{2} - 10 x)$

Schritt 5

Faktorisiere.

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Schritt 5.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 5.1.1

Stelle die Terme um.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- x^{2} - 10 x - 25)$

Schritt 5.1.2

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 1 \cdot - 25 = 25$ und deren Summe gleich $b = - 10$ ist.

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Schritt 5.1.2.1

Faktorisiere $- 10$ aus $- 10 x$ heraus.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- x^{2} - 10 (x) - 25)$

Schritt 5.1.2.2

Schreibe $- 10$ um als $- 5$ plus $- 5$

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- x^{2} + (- 5 - 5) x - 25)$

Schritt 5.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- x^{2} - 5 x - 5 x - 25)$

Schritt 5.1.3

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 5.1.3.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} ((- x^{2} - 5 x) - 5 x - 25)$

Schritt 5.1.3.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (x (- x - 5) + 5 (- x - 5))$

Schritt 5.1.4

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- x - 5$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} ((- x - 5) (x + 5))$

Schritt 5.2

Entferne unnötige Klammern.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- x - 5) (x + 5)$

Schritt 6

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- (x) - 5) (x + 5)$

Schritt 6.2

Schreibe $- 5$ als $- 1 (5)$ um.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- (x) - 1 (5)) (x + 5)$

Schritt 6.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (5)$ heraus.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- (x + 5)) (x + 5)$

Schritt 6.4

Schreibe $- (x + 5)$ als $- 1 (x + 5)$ um.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} (- 1 (x + 5)) (x + 5)$

Schritt 6.5

Entferne die Klammern.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot - 1 (x + 5) (x + 5)$

Schritt 6.6

Potenziere $x + 5$ mit $1$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot - 1 ({(x + 5)}^{1} (x + 5))$

Schritt 6.7

Potenziere $x + 5$ mit $1$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot - 1 ({(x + 5)}^{1} {(x + 5)}^{1})$

Schritt 6.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot - 1 {(x + 5)}^{1 + 1}$

Schritt 6.9

Addiere $1$ und $1$ .

$8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot - 1 {(x + 5)}^{2}$

Schritt 7

Faktorisiere ${(x + 5)}^{2}$ aus $8 x^{3} {(x + 5)}^{2} + y^{3} \cdot - 1 {(x + 5)}^{2}$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere ${(x + 5)}^{2}$ aus $8 x^{3} {(x + 5)}^{2}$ heraus.

${(x + 5)}^{2} (8 x^{3}) + y^{3} \cdot - 1 {(x + 5)}^{2}$

Schritt 7.2

Faktorisiere ${(x + 5)}^{2}$ aus $y^{3} \cdot - 1 {(x + 5)}^{2}$ heraus.

${(x + 5)}^{2} (8 x^{3}) + {(x + 5)}^{2} (y^{3} \cdot - 1)$

Schritt 7.3

Faktorisiere ${(x + 5)}^{2}$ aus ${(x + 5)}^{2} (8 x^{3}) + {(x + 5)}^{2} (y^{3} \cdot - 1)$ heraus.

${(x + 5)}^{2} (8 x^{3} + y^{3} \cdot - 1)$

Schritt 8

Schreibe $8 x^{3}$ als ${(2 x)}^{3}$ um.

${(x + 5)}^{2} ({(2 x)}^{3} + y^{3} \cdot - 1)$

Schritt 9

Schreibe $y^{3} \cdot - 1$ als ${(y \cdot - 1)}^{3}$ um.

${(x + 5)}^{2} ({(2 x)}^{3} + {(y \cdot - 1)}^{3})$

Schritt 10

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = 2 x$ und $b = y \cdot - 1$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x + y \cdot - 1) ({(2 x)}^{2} - (2 x) (y \cdot - 1) + {(y \cdot - 1)}^{2}))$

Schritt 11

Faktorisiere.

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Schritt 11.1

Vereinfache.

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Schritt 11.1.1

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - 1 y) ({(2 x)}^{2} - (2 x) (y \cdot - 1) + {(y \cdot - 1)}^{2}))$

Schritt 11.1.2

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) ({(2 x)}^{2} - (2 x) (y \cdot - 1) + {(y \cdot - 1)}^{2}))$

Schritt 11.1.3

Wende die Produktregel auf $2 x$ an.

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (2^{2} x^{2} - (2 x) (y \cdot - 1) + {(y \cdot - 1)}^{2}))$

Schritt 11.1.4

Potenziere $2$ mit $2$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} - (2 x) (y \cdot - 1) + {(y \cdot - 1)}^{2}))$

Schritt 11.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} - 2 x (y \cdot - 1) + {(y \cdot - 1)}^{2}))$

Schritt 11.1.6

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} - 2 x (- 1 \cdot y) + {(y \cdot - 1)}^{2}))$

Schritt 11.1.7

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} - 2 \cdot - 1 x y + {(y \cdot - 1)}^{2}))$

Schritt 11.1.8

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + {(y \cdot - 1)}^{2}))$

Schritt 11.1.9

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + {(- 1 y)}^{2}))$

Schritt 11.1.10

Schreibe $- 1 y$ als $- y$ um.

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + {(- y)}^{2}))$

Schritt 11.1.11

Wende die Produktregel auf $- y$ an.

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + {(- 1)}^{2} y^{2}))$

Schritt 11.1.12

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + 1 y^{2}))$

Schritt 11.1.13

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

${(x + 5)}^{2} ((2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + y^{2}))$

Schritt 11.2

Entferne unnötige Klammern.

${(x + 5)}^{2} (2 x - y) (4 x^{2} + 2 x y + y^{2})$