Algebra Beispiele

${(x + \sqrt{3})}^{2} - {(x - \sqrt{3})}^{2} = 8 \sqrt{3}$

Schritt 1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $8 \sqrt{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(x + \sqrt{3})}^{2} - {(x - \sqrt{3})}^{2} - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache ${(x + \sqrt{3})}^{2} - {(x - \sqrt{3})}^{2} - 8 \sqrt{3}$ .

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Schritt 1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.1

Schreibe ${(x + \sqrt{3})}^{2}$ als $(x + \sqrt{3}) (x + \sqrt{3})$ um.

$(x + \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) - {(x - \sqrt{3})}^{2} - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.2

Multipliziere $(x + \sqrt{3}) (x + \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x (x + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (x + \sqrt{3}) - {(x - \sqrt{3})}^{2} - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \sqrt{3} + \sqrt{3} (x + \sqrt{3}) - {(x - \sqrt{3})}^{2} - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x \cdot x + x \sqrt{3} + \sqrt{3} x + \sqrt{3} \sqrt{3} - {(x - \sqrt{3})}^{2} - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + x \sqrt{3} + \sqrt{3} x + \sqrt{3} \sqrt{3} - {(x - \sqrt{3})}^{2} - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.3.1.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$x^{2} + x \sqrt{3} + \sqrt{3} x + \sqrt{3 \cdot 3} - {(x - \sqrt{3})}^{2} - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x^{2} + x \sqrt{3} + \sqrt{3} x + \sqrt{9} - {(x - \sqrt{3})}^{2} - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.3.1.4

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$x^{2} + x \sqrt{3} + \sqrt{3} x + \sqrt{3^{2}} - {(x - \sqrt{3})}^{2} - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x^{2} + x \sqrt{3} + \sqrt{3} x + 3 - {(x - \sqrt{3})}^{2} - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.3.2

Stelle die Faktoren von $\sqrt{3} x$ um.

$x^{2} + x \sqrt{3} + x \sqrt{3} + 3 - {(x - \sqrt{3})}^{2} - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.3.3

Addiere $x \sqrt{3}$ und $x \sqrt{3}$ .

$x^{2} + 2 x \sqrt{3} + 3 - {(x - \sqrt{3})}^{2} - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.4

Schreibe ${(x - \sqrt{3})}^{2}$ als $(x - \sqrt{3}) (x - \sqrt{3})$ um.

$x^{2} + 2 x \sqrt{3} + 3 - ((x - \sqrt{3}) (x - \sqrt{3})) - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.5

Multipliziere $(x - \sqrt{3}) (x - \sqrt{3})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.1.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 2 x \sqrt{3} + 3 - (x (x - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (x - \sqrt{3})) - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 2 x \sqrt{3} + 3 - (x \cdot x + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (x - \sqrt{3})) - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 2 x \sqrt{3} + 3 - (x \cdot x + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.6

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.1.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.1.6.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} + 2 x \sqrt{3} + 3 - (x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.6.1.2

Multipliziere $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Schritt 1.2.1.6.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{2} + 2 x \sqrt{3} + 3 - (x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.6.1.2.2

Mutltipliziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x^{2} + 2 x \sqrt{3} + 3 - (x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + \sqrt{3} \sqrt{3}) - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.6.1.2.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x^{2} + 2 x \sqrt{3} + 3 - (x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.6.1.2.4

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$x^{2} + 2 x \sqrt{3} + 3 - (x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.6.1.2.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{2} + 2 x \sqrt{3} + 3 - (x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + {\sqrt{3}}^{1 + 1}) - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.6.1.2.6

Addiere $1$ und $1$ .

$x^{2} + 2 x \sqrt{3} + 3 - (x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + {\sqrt{3}}^{2}) - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.6.1.3

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 1.2.1.6.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$x^{2} + 2 x \sqrt{3} + 3 - (x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.6.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} + 2 x \sqrt{3} + 3 - (x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.6.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$x^{2} + 2 x \sqrt{3} + 3 - (x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + 3^{\frac{2}{2}}) - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.6.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.1.6.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x^{2} + 2 x \sqrt{3} + 3 - (x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + 3^{\frac{2}{2}}) - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.6.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$x^{2} + 2 x \sqrt{3} + 3 - (x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + 3^{1}) - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.6.1.3.5

Berechne den Exponenten.

$x^{2} + 2 x \sqrt{3} + 3 - (x^{2} + x (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} x + 3) - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.6.2

Stelle die Faktoren von $- \sqrt{3} x$ um.

$x^{2} + 2 x \sqrt{3} + 3 - (x^{2} + x (- \sqrt{3}) - x \sqrt{3} + 3) - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.6.3

Subtrahiere $x \sqrt{3}$ von $x (- \sqrt{3})$ .

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Schritt 1.2.1.6.3.1

Stelle $x$ und $- 1$ um.

$x^{2} + 2 x \sqrt{3} + 3 - (x^{2} - 1 \cdot x \sqrt{3} - x \sqrt{3} + 3) - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.6.3.2

Subtrahiere $x \sqrt{3}$ von $- 1 \cdot x \sqrt{3}$ .

$x^{2} + 2 x \sqrt{3} + 3 - (x^{2} - 2 x \sqrt{3} + 3) - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} + 2 x \sqrt{3} + 3 - x^{2} - (- 2 x \sqrt{3}) - 1 \cdot 3 - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.8

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1.8.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$x^{2} + 2 x \sqrt{3} + 3 - x^{2} + 2 (x \sqrt{3}) - 1 \cdot 3 - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.1.8.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x^{2} + 2 x \sqrt{3} + 3 - x^{2} + 2 (x \sqrt{3}) - 3 - 8 \sqrt{3} = 0$

$x^{2} + 2 x \sqrt{3} + 3 - x^{2} + 2 x \sqrt{3} - 3 - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{2} + 2 x \sqrt{3} + 3 - x^{2} + 2 x \sqrt{3} - 3 - 8 \sqrt{3}$ .

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Schritt 1.2.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$2 x \sqrt{3} + 3 + 0 + 2 x \sqrt{3} - 3 - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.2.2

Addiere $2 x \sqrt{3} + 3$ und $0$ .

$2 x \sqrt{3} + 3 + 2 x \sqrt{3} - 3 - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.2.3

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$2 x \sqrt{3} + 2 x \sqrt{3} + 0 - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.2.4

Addiere $2 x \sqrt{3} + 2 x \sqrt{3}$ und $0$ .

$2 x \sqrt{3} + 2 x \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 1.2.3

Addiere $2 x \sqrt{3}$ und $2 x \sqrt{3}$ .

$4 x \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} = 0$

Schritt 2

Addiere $8 \sqrt{3}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 x \sqrt{3} = 8 \sqrt{3}$

Schritt 3

Teile jeden Ausdruck in $4 x \sqrt{3} = 8 \sqrt{3}$ durch $4 \sqrt{3}$ und vereinfache.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 x \sqrt{3} = 8 \sqrt{3}$ durch $4 \sqrt{3}$ .

$\frac{4 x \sqrt{3}}{4 \sqrt{3}} = \frac{8 \sqrt{3}}{4 \sqrt{3}}$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 x \sqrt{3}}{4 \sqrt{3}} = \frac{8 \sqrt{3}}{4 \sqrt{3}}$

Schritt 3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{8 \sqrt{3}}{4 \sqrt{3}}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{8 \sqrt{3}}{4 \sqrt{3}}$

Schritt 3.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{8 \sqrt{3}}{4 \sqrt{3}}$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $8$ und $4$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $8 \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{4 (2 \sqrt{3})}{4 \sqrt{3}}$

Schritt 3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \sqrt{3}$ heraus.

$x = \frac{4 (2 \sqrt{3})}{4 (\sqrt{3})}$

Schritt 3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{4 (2 \sqrt{3})}{4 \sqrt{3}}$

Schritt 3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{3}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.3.2.2

Dividiere $2$ durch $1$ .

$x = 2$