Algebra Beispiele

${(3^{2})}^{\sqrt{x - 1}} = 81$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 1}$ als ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(3^{2})}^{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} = 81$

Schritt 2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3^{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} = 81$

Schritt 3

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$3^{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} = 3^{4}$

Schritt 4

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} = 4$

Schritt 5

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} = 4$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} = 4$ durch $2$ .

$\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{4}{2}$

Schritt 5.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{4}{2}$

Schritt 5.1.2.2

Dividiere ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{2}} = \frac{4}{2}$

Schritt 5.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.3.1

Dividiere $4$ durch $2$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{2}} = 2$

Schritt 5.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.1.1

Vereinfache ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Schritt 5.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 2^{2}$

Schritt 5.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x - 1)}^{1} = 2^{2}$

Schritt 5.3.1.1.2

Vereinfache.

$x - 1 = 2^{2}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x - 1 = 4$

Schritt 5.4

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4 + 1$

Schritt 5.4.2

Addiere $4$ und $1$ .

$x = 5$