Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{1 - x} \geq 2$

Schritt 1

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10}{1 - x} - 2 \geq 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{x^{2} - 3 x - 10}{1 - x} - 2$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 10$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 10$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 5, 2$

Schritt 2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{1 - x} - 2 \geq 0$

Schritt 2.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{1 - x} - 2 \cdot \frac{1 - x}{1 - x} \geq 0$

Schritt 2.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$\frac{(x - 5) (x + 2)}{1 - x} + \frac{- 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{(x - 5) (x + 2) - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Multipliziere $(x - 5) (x + 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x (x + 2) - 5 (x + 2) - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Schritt 2.5.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 - 5 (x + 2) - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Schritt 2.5.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x \cdot x + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Schritt 2.5.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.5.2.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{x^{2} + x \cdot 2 - 5 x - 5 \cdot 2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Schritt 2.5.2.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x - 5 x - 5 \cdot 2 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Schritt 2.5.2.1.3

Mutltipliziere $- 5$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} + 2 x - 5 x - 10 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Schritt 2.5.2.2

Subtrahiere $5 x$ von $2 x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 (1 - x)}{1 - x} \geq 0$

Schritt 2.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 \cdot 1 - 2 (- x)}{1 - x} \geq 0$

Schritt 2.5.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 - 2 (- x)}{1 - x} \geq 0$

Schritt 2.5.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 + 2 x}{1 - x} \geq 0$

Schritt 2.5.6

Addiere $- 3 x$ und $2 x$ .

$\frac{x^{2} - x - 10 - 2}{1 - x} \geq 0$

Schritt 2.5.7

Subtrahiere $2$ von $- 10$ .

$\frac{x^{2} - x - 12}{1 - x} \geq 0$

Schritt 2.5.8

Faktorisiere $x^{2} - x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.5.8.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 4, 3$

Schritt 2.5.8.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{(x - 4) (x + 3)}{1 - x} \geq 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

$1 - x = 0$

Schritt 4

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 5

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 6

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 7.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 8

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 4$

$x = - 3$

$x = 1$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 4, - 3, 1$

Schritt 10

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{(x - 4) (x + 3)}{1 - x}$ .

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Schritt 10.1

Setze den Nenner in $\frac{(x - 4) (x + 3)}{1 - x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$1 - x = 0$

Schritt 10.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 1$

Schritt 10.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 10.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 10.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.2.3.1

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$x = 1$

Schritt 10.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 3$

$- 3 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 6$

Schritt 12.1.2

Ersetze $x$ durch $- 6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 6)}^{2} - 3 \cdot - 6 - 10}{1 - (- 6)} \geq 2$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $6.\overline{285714}$ ist größer als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $- 3 < x < 1$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 3 < x < 1$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 12.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(0)}^{2} - 3 \cdot 0 - 10}{1 - (0)} \geq 2$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $- 10$ ist kleiner als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 12.3

Teste einen Wert im Intervall $1 < x < 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $1 < x < 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 12.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(2)}^{2} - 3 \cdot 2 - 10}{1 - (2)} \geq 2$

Schritt 12.3.3

Die linke Seite $12$ ist größer als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 12.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 4$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 4$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 12.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(6)}^{2} - 3 \cdot 6 - 10}{1 - (6)} \geq 2$

Schritt 12.4.3

Die linke Seite $- 1.6$ ist kleiner als die rechte Seite $2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 12.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 1$ Falsch

$1 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

$x < - 3$ Wahr

$- 3 < x < 1$ Falsch

$1 < x < 4$ Wahr

$x > 4$ Falsch

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 3$ oder $1 < x \leq 4$

Schritt 14

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \leq - 3 or 1 < x \leq 4$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 3] \cup (1, 4]$

Schritt 15