Algebra Beispiele

$\frac{(1 + i \sqrt{2})}{2} - (1 - i \sqrt{\frac{1}{2}})$

Schritt 1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1

Schreibe $\sqrt{\frac{1}{2}}$ als $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ um.

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}})$

Schritt 1.1.2

Jede Wurzel von $1$ ist $1$ .

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - i \frac{1}{\sqrt{2}})$

Schritt 1.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}))$

Schritt 1.1.4

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{\sqrt{2}}$ mit $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})$

Schritt 1.1.4.2

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})$

Schritt 1.1.4.3

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})$

Schritt 1.1.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})$

Schritt 1.1.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})$

Schritt 1.1.4.6

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 1.1.4.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Schritt 1.1.4.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Schritt 1.1.4.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 1.1.4.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.4.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})$

Schritt 1.1.4.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}})$

Schritt 1.1.4.6.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - i \frac{\sqrt{2}}{2})$

Schritt 1.1.5

Kombiniere $\frac{\sqrt{2}}{2}$ und $i$ .

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - (1 - \frac{\sqrt{2} i}{2})$

Schritt 1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - 1 \cdot 1 - - \frac{\sqrt{2} i}{2}$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - 1 - - \frac{\sqrt{2} i}{2}$

Schritt 1.4

Multipliziere $- - \frac{\sqrt{2} i}{2}$ .

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Schritt 1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - 1 + 1 \frac{\sqrt{2} i}{2}$

Schritt 1.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2} i}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1 + i \sqrt{2}}{2} - 1 + \frac{\sqrt{2} i}{2}$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 1 + \frac{1 + i \sqrt{2} + \sqrt{2} i}{2}$

Schritt 2.2

Stelle die Faktoren von $\sqrt{2} i$ um.

$- 1 + \frac{1 + i \sqrt{2} + i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 2.3

Addiere $i \sqrt{2}$ und $i \sqrt{2}$ .

$- 1 + \frac{1 + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1 + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{1 + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 1 + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 6

Schreibe $- 1$ als $- 1 (1)$ um.

$\frac{- 1 (1) + 2 i \sqrt{2}}{2}$

Schritt 7

Faktorisiere $- 1$ aus $2 i \sqrt{2}$ heraus.

$\frac{- 1 (1) - (- 2 i \sqrt{2})}{2}$

Schritt 8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (1) - (- 2 i \sqrt{2})$ heraus.

$\frac{- 1 (1 - 2 i \sqrt{2})}{2}$

Schritt 9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1 - 2 i \sqrt{2}}{2}$