Algebra Beispiele

$\frac{3 a^{3} - 15 a^{2} b + 12 a b^{2}}{3 a^{2} b}$

Schritt 1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $3 a$ aus $3 a^{3} - 15 a^{2} b + 12 a b^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $3 a$ aus $3 a^{3}$ heraus.

$\frac{3 a (a^{2}) - 15 a^{2} b + 12 a b^{2}}{3 a^{2} b}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $3 a$ aus $- 15 a^{2} b$ heraus.

$\frac{3 a (a^{2}) + 3 a (- 5 a b) + 12 a b^{2}}{3 a^{2} b}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $3 a$ aus $12 a b^{2}$ heraus.

$\frac{3 a (a^{2}) + 3 a (- 5 a b) + 3 a (4 b^{2})}{3 a^{2} b}$

Schritt 1.1.4

Faktorisiere $3 a$ aus $3 a (a^{2}) + 3 a (- 5 a b)$ heraus.

$\frac{3 a (a^{2} - 5 a b) + 3 a (4 b^{2})}{3 a^{2} b}$

Schritt 1.1.5

Faktorisiere $3 a$ aus $3 a (a^{2} - 5 a b) + 3 a (4 b^{2})$ heraus.

$\frac{3 a (a^{2} - 5 a b + 4 b^{2})}{3 a^{2} b}$

Schritt 1.2

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 1 \cdot 4 = 4$ und deren Summe gleich $b = - 5$ ist.

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Schritt 1.2.1.1

Stelle die Terme um.

$\frac{3 a (a^{2} + 4 b^{2} - 5 a b)}{3 a^{2} b}$

Schritt 1.2.1.2

Stelle $4 b^{2}$ und $- 5 a b$ um.

$\frac{3 a (a^{2} - 5 a b + 4 b^{2})}{3 a^{2} b}$

Schritt 1.2.1.3

Faktorisiere $- 5$ aus $- 5 a b$ heraus.

$\frac{3 a (a^{2} - 5 (a b) + 4 b^{2})}{3 a^{2} b}$

Schritt 1.2.1.4

Schreibe $- 5$ um als $- 1$ plus $- 4$

$\frac{3 a (a^{2} + (- 1 - 4) (a b) + 4 b^{2})}{3 a^{2} b}$

Schritt 1.2.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 a (a^{2} - 1 (a b) - 4 (a b) + 4 b^{2})}{3 a^{2} b}$

Schritt 1.2.1.6

Versetze die Klammern.

$\frac{3 a (a^{2} - 1 a b - 4 a b + 4 b^{2})}{3 a^{2} b}$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$\frac{3 a ((a^{2} - 1 a b) - 4 a b + 4 b^{2})}{3 a^{2} b}$

Schritt 1.2.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$\frac{3 a (a (a - 1 b) - 4 b (a - b))}{3 a^{2} b}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $a - 1 b$ .

$\frac{3 a ((a - 1 b) (a - 4 b))}{3 a^{2} b}$

Schritt 1.3

Schreibe $- 1 b$ als $- b$ um.

$\frac{3 a (a - b) (a - 4 b)}{3 a^{2} b}$

Schritt 2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 a (a - b) (a - 4 b)}{3 a^{2} b}$

Schritt 2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(a (a - b)) (a - 4 b)}{a^{2} b}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $a$ und $a^{2}$ .

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Schritt 3.1

Faktorisiere $a$ aus $(a (a - b)) (a - 4 b)$ heraus.

$\frac{a ((a - b) (a - 4 b))}{a^{2} b}$

Schritt 3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $a$ aus $a^{2} b$ heraus.

$\frac{a ((a - b) (a - 4 b))}{a (a b)}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a ((a - b) (a - 4 b))}{a (a b)}$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(a - b) (a - 4 b)}{a b}$

Schritt 4

Multipliziere $(a - b) (a - 4 b)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a (a - 4 b) - b (a - 4 b)}{a b}$

Schritt 4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a \cdot a + a (- 4 b) - b (a - 4 b)}{a b}$

Schritt 4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a \cdot a + a (- 4 b) - b a - b (- 4 b)}{a b}$

Schritt 5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $a$ mit $a$ .

$\frac{a^{2} + a (- 4 b) - b a - b (- 4 b)}{a b}$

Schritt 5.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{a^{2} - 4 a b - b a - b (- 4 b)}{a b}$

Schritt 5.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{a^{2} - 4 a b - b a - 1 \cdot - 4 b \cdot b}{a b}$

Schritt 5.1.4

Multipliziere $b$ mit $b$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.1.4.1

Bewege $b$ .

$\frac{a^{2} - 4 a b - b a - 1 \cdot - 4 (b \cdot b)}{a b}$

Schritt 5.1.4.2

Mutltipliziere $b$ mit $b$ .

$\frac{a^{2} - 4 a b - b a - 1 \cdot - 4 b^{2}}{a b}$

Schritt 5.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$\frac{a^{2} - 4 a b - b a + 4 b^{2}}{a b}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $b a$ von $- 4 a b$ .

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Schritt 5.2.1

Bewege $b$ .

$\frac{a^{2} - 4 a b - 1 a b + 4 b^{2}}{a b}$

Schritt 5.2.2

Subtrahiere $a b$ von $- 4 a b$ .

$\frac{a^{2} - 5 a b + 4 b^{2}}{a b}$

Schritt 6

Zerlege den Bruch $\frac{a^{2} - 5 a b + 4 b^{2}}{a b}$ in zwei Brüche.

$\frac{a^{2} - 5 a b}{a b} + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Schritt 7

Zerlege den Bruch $\frac{a^{2} - 5 a b}{a b}$ in zwei Brüche.

$\frac{a^{2}}{a b} + \frac{- 5 a b}{a b} + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Schritt 8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $a^{2}$ und $a$ .

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Schritt 8.1

Faktorisiere $a$ aus $a^{2}$ heraus.

$\frac{a \cdot a}{a b} + \frac{- 5 a b}{a b} + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Schritt 8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $a$ aus $a b$ heraus.

$\frac{a \cdot a}{a (b)} + \frac{- 5 a b}{a b} + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a \cdot a}{a b} + \frac{- 5 a b}{a b} + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Schritt 8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a}{b} + \frac{- 5 a b}{a b} + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Schritt 9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a$ .

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Schritt 9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a}{b} + \frac{- 5 a b}{a b} + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Schritt 9.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a}{b} + \frac{- 5 b}{b} + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Schritt 10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $b$ .

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Schritt 10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a}{b} + \frac{- 5 b}{b} + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Schritt 10.2

Dividiere $- 5$ durch $1$ .

$\frac{a}{b} - 5 + \frac{4 b^{2}}{a b}$

Schritt 11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $b^{2}$ und $b$ .

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Schritt 11.1

Faktorisiere $b$ aus $4 b^{2}$ heraus.

$\frac{a}{b} - 5 + \frac{b (4 b)}{a b}$

Schritt 11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.1

Faktorisiere $b$ aus $a b$ heraus.

$\frac{a}{b} - 5 + \frac{b (4 b)}{b a}$

Schritt 11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a}{b} - 5 + \frac{b (4 b)}{b a}$

Schritt 11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{a}{b} - 5 + \frac{4 b}{a}$