Algebra Beispiele

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 5 x - 12}{2 x + 8}$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = \frac{2 x^{2} + 5 x - 12}{2 x + 8}$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Setze den Zähler gleich Null.

$2 x^{2} + 5 x - 12 = 0$

Schritt 1.2.2

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.2.2.1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = 2 \cdot - 12 = - 24$ und deren Summe gleich $b = 5$ ist.

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Schritt 1.2.2.1.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x$ heraus.

$2 x^{2} + 5 (x) - 12 = 0$

Schritt 1.2.2.1.1.2

Schreibe $5$ um als $- 3$ plus $8$

$2 x^{2} + (- 3 + 8) x - 12 = 0$

Schritt 1.2.2.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$2 x^{2} - 3 x + 8 x - 12 = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(2 x^{2} - 3 x) + 8 x - 12 = 0$

Schritt 1.2.2.1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x (2 x - 3) + 4 (2 x - 3) = 0$

Schritt 1.2.2.1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) (x + 4) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Schritt 1.2.2.3

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.3.1

Setze $2 x - 3$ gleich $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Schritt 1.2.2.3.2

Löse $2 x - 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.3.2.1

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x = 3$

Schritt 1.2.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x = 3$ durch $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 1.2.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Schritt 1.2.2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 1.2.2.4

Setze $x + 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.2.4.1

Setze $x + 4$ gleich $0$ .

$x + 4 = 0$

Schritt 1.2.2.4.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 4$

Schritt 1.2.2.5

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(2 x - 3) (x + 4) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3}{2}, - 4$

Schritt 1.2.3

Schließe die Lösungen aus, die $0 = \frac{2 x^{2} + 5 x - 12}{2 x + 8}$ nicht erfüllen.

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{3}{2}, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = \frac{2 {(0)}^{2} + 5 (0) - 12}{2 (0) + 8}$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = \frac{2 \cdot 0^{2} + 5 (0) - 12}{2 (0) + 8}$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = \frac{2 {(0)}^{2} + 5 (0) - 12}{2 (0) + 8}$

Schritt 2.2.3

Vereinfache $\frac{2 {(0)}^{2} + 5 (0) - 12}{2 (0) + 8}$ .

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Schritt 2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 {(0)}^{2} + 5 (0) - 12$ und $2 (0) + 8$ .

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Schritt 2.2.3.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $2 (0)$ heraus.

$y = \frac{2 {(0)}^{2} + 5 (0) - 12}{- (- 2 \cdot 0) + 8}$

Schritt 2.2.3.1.2

Schreibe $8$ als $- 1 (- 8)$ um.

$y = \frac{2 {(0)}^{2} + 5 (0) - 12}{- (- 2 \cdot 0) - 1 (- 8)}$

Schritt 2.2.3.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (- 2 \cdot 0) - 1 (- 8)$ heraus.

$y = \frac{2 {(0)}^{2} + 5 (0) - 12}{- (- 2 \cdot 0 - 8)}$

Schritt 2.2.3.1.4

Schreibe $- (- 2 \cdot 0 - 8)$ als $- 1 (- 2 \cdot 0 - 8)$ um.

$y = \frac{2 {(0)}^{2} + 5 (0) - 12}{- 1 (- 2 \cdot 0 - 8)}$

Schritt 2.2.3.1.5

Stelle die Terme um.

$y = \frac{2 \cdot 0^{2} + 5 (0) - 12}{- 1 (- 8 - 2 \cdot 0)}$

Schritt 2.2.3.1.6

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 0^{2}$ heraus.

$y = \frac{2 (0^{2}) + 5 (0) - 12}{- 1 (- 8 - 2 \cdot 0)}$

Schritt 2.2.3.1.7

Faktorisiere $2$ aus $5 (0)$ heraus.

$y = \frac{2 (0^{2}) + 2 (5 \cdot (0)) - 12}{- 1 (- 8 - 2 \cdot 0)}$

Schritt 2.2.3.1.8

Faktorisiere $2$ aus $2 (0^{2}) + 2 (5 \cdot (0))$ heraus.

$y = \frac{2 (0^{2} + 5 \cdot (0)) - 12}{- 1 (- 8 - 2 \cdot 0)}$

Schritt 2.2.3.1.9

Faktorisiere $2$ aus $- 12$ heraus.

$y = \frac{2 (0^{2} + 5 \cdot (0)) + 2 (- 6)}{- 1 (- 8 - 2 \cdot 0)}$

Schritt 2.2.3.1.10

Faktorisiere $2$ aus $2 (0^{2} + 5 \cdot (0)) + 2 (- 6)$ heraus.

$y = \frac{2 (0^{2} + 5 \cdot (0) - 6)}{- 1 (- 8 - 2 \cdot 0)}$

Schritt 2.2.3.1.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.1.11.1

Faktorisiere $2$ aus $- 1 (- 8 - 2 \cdot 0)$ heraus.

$y = \frac{2 (0^{2} + 5 \cdot (0) - 6)}{2 (- 1 (- 4 - 0))}$

Schritt 2.2.3.1.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 (0^{2} + 5 \cdot (0) - 6)}{2 (- 1 (- 4 - 0))}$

Schritt 2.2.3.1.11.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{0^{2} + 5 \cdot (0) - 6}{- 1 (- 4 - 0)}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.3.2.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = \frac{0 + 5 \cdot (0) - 6}{- 1 (- 4 - 0)}$

Schritt 2.2.3.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$y = \frac{0 + 0 - 6}{- 1 (- 4 - 0)}$

Schritt 2.2.3.2.3

Addiere $0$ und $0$ .

$y = \frac{0 - 6}{- 1 (- 4 - 0)}$

Schritt 2.2.3.2.4

Subtrahiere $6$ von $0$ .

$y = \frac{- 6}{- 1 (- 4 - 0)}$

Schritt 2.2.3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.2.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$y = \frac{- 6}{- 1 (- 4 + 0)}$

Schritt 2.2.3.3.2

Addiere $- 4$ und $0$ .

$y = \frac{- 6}{- 1 \cdot - 4}$

Schritt 2.2.3.4

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- 6}{4}$

Schritt 2.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $4$ .

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Schritt 2.2.3.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$y = \frac{2 (- 3)}{4}$

Schritt 2.2.3.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.3.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.3.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.2.3.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- 3}{2}$

Schritt 2.2.3.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{3}{2}$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - \frac{3}{2})$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{3}{2}, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, - \frac{3}{2})$

Schritt 4