Algebra Beispiele

$\frac{1}{3 x - 7} \geq \frac{4}{3 - 2 x}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{4}{3 - 2 x}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$\frac{1}{3 x - 7} - \frac{4}{3 - 2 x} \geq 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{1}{3 x - 7} - \frac{4}{3 - 2 x}$ .

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Schritt 2.1

Um $\frac{1}{3 x - 7}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 - 2 x}{3 - 2 x}$ .

$\frac{1}{3 x - 7} \cdot \frac{3 - 2 x}{3 - 2 x} - \frac{4}{3 - 2 x} \geq 0$

Schritt 2.2

Um $- \frac{4}{3 - 2 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x - 7}{3 x - 7}$ .

$\frac{1}{3 x - 7} \cdot \frac{3 - 2 x}{3 - 2 x} - \frac{4}{3 - 2 x} \cdot \frac{3 x - 7}{3 x - 7} \geq 0$

Schritt 2.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(3 x - 7) (3 - 2 x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3 x - 7}$ mit $\frac{3 - 2 x}{3 - 2 x}$ .

$\frac{3 - 2 x}{(3 x - 7) (3 - 2 x)} - \frac{4}{3 - 2 x} \cdot \frac{3 x - 7}{3 x - 7} \geq 0$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $\frac{4}{3 - 2 x}$ mit $\frac{3 x - 7}{3 x - 7}$ .

$\frac{3 - 2 x}{(3 x - 7) (3 - 2 x)} - \frac{4 (3 x - 7)}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Schritt 2.3.3

Stelle die Faktoren von $(3 x - 7) (3 - 2 x)$ um.

$\frac{3 - 2 x}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} - \frac{4 (3 x - 7)}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Schritt 2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{3 - 2 x - 4 (3 x - 7)}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Schritt 2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{3 - 2 x - 4 (3 x) - 4 \cdot - 7}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Schritt 2.5.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$\frac{3 - 2 x - 12 x - 4 \cdot - 7}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Schritt 2.5.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 7$ .

$\frac{3 - 2 x - 12 x + 28}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Schritt 2.5.4

Addiere $3$ und $28$ .

$\frac{- 2 x - 12 x + 31}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Schritt 2.5.5

Subtrahiere $12 x$ von $- 2 x$ .

$\frac{- 14 x + 31}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Schritt 2.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 14 x$ heraus.

$\frac{- (14 x) + 31}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Schritt 2.7

Schreibe $31$ als $- 1 (- 31)$ um.

$\frac{- (14 x) - 1 (- 31)}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Schritt 2.8

Faktorisiere $- 1$ aus $- (14 x) - 1 (- 31)$ heraus.

$\frac{- (14 x - 31)}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Schritt 2.9

Schreibe $- (14 x - 31)$ als $- 1 (14 x - 31)$ um.

$\frac{- 1 (14 x - 31)}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Schritt 2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{14 x - 31}{(3 - 2 x) (3 x - 7)} \geq 0$

Schritt 3

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$14 x - 31 = 0$

$3 - 2 x = 0$

$3 x - 7 = 0$

Schritt 4

Addiere $31$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$14 x = 31$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $14 x = 31$ durch $14$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $14 x = 31$ durch $14$ .

$\frac{14 x}{14} = \frac{31}{14}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $14$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{14 x}{14} = \frac{31}{14}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{31}{14}$

Schritt 6

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 3$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 3$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 3$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 2}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 8

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 7$

Schritt 9

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 7$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 9.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 7$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Schritt 9.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 9.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 9.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Schritt 9.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Schritt 10

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = \frac{31}{14}$

$x = \frac{3}{2}$

$x = \frac{7}{3}$

Schritt 11

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = \frac{31}{14}, \frac{3}{2}, \frac{7}{3}$

Schritt 12

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{14 x - 31}{(3 - 2 x) (3 x - 7)}$ .

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Schritt 12.1

Setze den Nenner in $\frac{14 x - 31}{(3 - 2 x) (3 x - 7)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(3 - 2 x) (3 x - 7) = 0$

Schritt 12.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 - 2 x = 0$

$3 x - 7 = 0$

Schritt 12.2.2

Setze $3 - 2 x$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.2.1

Setze $3 - 2 x$ gleich $0$ .

$3 - 2 x = 0$

Schritt 12.2.2.2

Löse $3 - 2 x = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.2.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x = - 3$

Schritt 12.2.2.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 3$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 12.2.2.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 x = - 3$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Schritt 12.2.2.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.2.2.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 12.2.2.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 3}{- 2}$

Schritt 12.2.2.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 2}$

Schritt 12.2.2.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 12.2.2.2.2.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x = \frac{3}{2}$

Schritt 12.2.3

Setze $3 x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.3.1

Setze $3 x - 7$ gleich $0$ .

$3 x - 7 = 0$

Schritt 12.2.3.2

Löse $3 x - 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 12.2.3.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 7$

Schritt 12.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 7$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 12.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 7$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Schritt 12.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 12.2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 12.2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Schritt 12.2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Schritt 12.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 - 2 x) (3 x - 7) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{3}{2}, \frac{7}{3}$

Schritt 12.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \frac{7}{3}) \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

Schritt 13

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < \frac{3}{2}$

$\frac{3}{2} < x < \frac{31}{14}$

$\frac{31}{14} < x < \frac{7}{3}$

$x > \frac{7}{3}$

Schritt 14

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 14.1

Teste einen Wert im Intervall $x < \frac{3}{2}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 14.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < \frac{3}{2}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 14.1.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{3 (0) - 7} \geq \frac{4}{3 - 2 \cdot 0}$

Schritt 14.1.3

Die linke Seite $- 0.\overline{142857}$ ist kleiner als die rechte Seite $1.\overline{3}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 14.2

Teste einen Wert im Intervall $\frac{3}{2} < x < \frac{31}{14}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 14.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{3}{2} < x < \frac{31}{14}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 14.2.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{3 (2) - 7} \geq \frac{4}{3 - 2 \cdot 2}$

Schritt 14.2.3

Die linke Seite $- 1$ ist größer als die rechte Seite $- 4$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 14.3

Teste einen Wert im Intervall $\frac{31}{14} < x < \frac{7}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 14.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $\frac{31}{14} < x < \frac{7}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2.27$

Schritt 14.3.2

Ersetze $x$ durch $2.27$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{3 (2.27) - 7} \geq \frac{4}{3 - 2 \cdot 2.27}$

Schritt 14.3.3

Die linke Seite $- 5.26315789$ ist kleiner als die rechte Seite $- 2.\overline{597402}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 14.4

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{7}{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 14.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{7}{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 14.4.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{1}{3 (5) - 7} \geq \frac{4}{3 - 2 \cdot 5}$

Schritt 14.4.3

Die linke Seite $0.125$ ist größer als die rechte Seite $- 0.\overline{571428}$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 14.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < \frac{3}{2}$ Falsch

$\frac{3}{2} < x < \frac{31}{14}$ Wahr

$\frac{31}{14} < x < \frac{7}{3}$ Falsch

$x > \frac{7}{3}$ Wahr

$x < \frac{3}{2}$ Falsch

$\frac{3}{2} < x < \frac{31}{14}$ Wahr

$\frac{31}{14} < x < \frac{7}{3}$ Falsch

$x > \frac{7}{3}$ Wahr

Schritt 15

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$\frac{3}{2} < x \leq \frac{31}{14}$ oder $x > \frac{7}{3}$

Schritt 16

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$\frac{3}{2} < x \leq \frac{31}{14} or x > \frac{7}{3}$

Intervallschreibweise:

$(\frac{3}{2}, \frac{31}{14}] \cup (\frac{7}{3}, \infty)$

Schritt 17