Algebra Beispiele

$\frac{x}{x^{2} + 2 x - 2} \leq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x = 0$

$x^{2} + 2 x - 2 = 0$

Schritt 2

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = - 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Schritt 4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Addiere $4$ und $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 4.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{3}$

Schritt 5

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + \sqrt{3}, - 1 - \sqrt{3}$

Schritt 6

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = - 1 + \sqrt{3}, - 1 - \sqrt{3}$

Schritt 7

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, - 1 + \sqrt{3}, - 1 - \sqrt{3}$

Schritt 8

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x}{x^{2} + 2 x - 2}$ .

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Schritt 8.1

Setze den Nenner in $\frac{x}{x^{2} + 2 x - 2}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} + 2 x - 2 = 0$

Schritt 8.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 8.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 8.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = 2$ und $c = - 2$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3

Vereinfache.

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Schritt 8.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 8.2.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Schritt 8.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.1.3

Addiere $4$ und $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.1.4

Schreibe $12$ als $2^{2} \cdot 3$ um.

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Schritt 8.2.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 8.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Schritt 8.2.3.3

Vereinfache $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{3}$

Schritt 8.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - 1 + \sqrt{3}, - 1 - \sqrt{3}$

Schritt 8.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 1 - \sqrt{3}) \cup (- 1 - \sqrt{3}, - 1 + \sqrt{3}) \cup (- 1 + \sqrt{3}, \infty)$

Schritt 9

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 1 - \sqrt{3}$

$- 1 - \sqrt{3} < x < 0$

$0 < x < - 1 + \sqrt{3}$

$x > - 1 + \sqrt{3}$

Schritt 10

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 10.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 1 - \sqrt{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 1 - \sqrt{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 5$

Schritt 10.1.2

Ersetze $x$ durch $- 5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{- 5}{{(- 5)}^{2} + 2 (- 5) - 2} \leq 0$

Schritt 10.1.3

Die linke Seite $- 0.\overline{384615}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.2

Teste einen Wert im Intervall $- 1 - \sqrt{3} < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 1 - \sqrt{3} < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 1$

Schritt 10.2.2

Ersetze $x$ durch $- 1$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{- 1}{{(- 1)}^{2} + 2 (- 1) - 2} \leq 0$

Schritt 10.2.3

Die linke Seite $0.\overline{3}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < - 1 + \sqrt{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < - 1 + \sqrt{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.37$

Schritt 10.3.2

Ersetze $x$ durch $0.37$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{0.37}{{(0.37)}^{2} + 2 (0.37) - 2} \leq 0$

Schritt 10.3.3

Die linke Seite $- 0.32944528$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 10.4

Teste einen Wert im Intervall $x > - 1 + \sqrt{3}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 10.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > - 1 + \sqrt{3}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 10.4.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{3}{{(3)}^{2} + 2 (3) - 2} \leq 0$

Schritt 10.4.3

Die linke Seite $0.\overline{230769}$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 10.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 1 - \sqrt{3}$ Wahr

$- 1 - \sqrt{3} < x < 0$ Falsch

$0 < x < - 1 + \sqrt{3}$ Wahr

$x > - 1 + \sqrt{3}$ Falsch

$x < - 1 - \sqrt{3}$ Wahr

$- 1 - \sqrt{3} < x < 0$ Falsch

$0 < x < - 1 + \sqrt{3}$ Wahr

$x > - 1 + \sqrt{3}$ Falsch

Schritt 11

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < - 1 - \sqrt{3}$ oder $0 \leq x < - 1 + \sqrt{3}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x < - 1 - \sqrt{3} or 0 \leq x < - 1 + \sqrt{3}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 1 - \sqrt{3}) \cup [0, - 1 + \sqrt{3})$

Schritt 13