Algebra Beispiele

$\log_{2} (x + 3) + \log_{2} (x^{2} - 3 x - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Schritt 1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((x + 3) (x^{2} - 3 x - 2)) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Schritt 1.2

Multipliziere $(x + 3) (x^{2} - 3 x - 2)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$\log_{2} (x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot - 2 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Schritt 1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.3.1.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\log_{2} (x \cdot x^{2} + x (- 3 x) + x \cdot - 2 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Schritt 1.3.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\log_{2} (x^{1 + 2} + x (- 3 x) + x \cdot - 2 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Schritt 1.3.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\log_{2} (x^{3} + x (- 3 x) + x \cdot - 2 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\log_{2} (x^{3} - 3 x \cdot x + x \cdot - 2 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Schritt 1.3.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.3.1.3.1

Bewege $x$ .

$\log_{2} (x^{3} - 3 (x \cdot x) + x \cdot - 2 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Schritt 1.3.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\log_{2} (x^{3} - 3 x^{2} + x \cdot - 2 + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Schritt 1.3.1.4

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\log_{2} (x^{3} - 3 x^{2} - 2 \cdot x + 3 x^{2} + 3 (- 3 x) + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Schritt 1.3.1.5

Mutltipliziere $- 3$ mit $3$ .

$\log_{2} (x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 3 x^{2} - 9 x + 3 \cdot - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Schritt 1.3.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$\log_{2} (x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 3 x^{2} - 9 x - 6) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Schritt 1.3.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 1.3.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 3 x^{2} - 9 x - 6$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Addiere $- 3 x^{2}$ und $3 x^{2}$ .

$\log_{2} (x^{3} - 2 x + 0 - 9 x - 6) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Schritt 1.3.2.1.2

Addiere $x^{3} - 2 x$ und $0$ .

$\log_{2} (x^{3} - 2 x - 9 x - 6) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Schritt 1.3.2.2

Subtrahiere $9 x$ von $- 2 x$ .

$\log_{2} (x^{3} - 11 x - 6) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$

Schritt 2

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\log_{2} (x^{3} - 11 x - 6) - \log_{2} (x^{2} + x - 6) = 2$

Schritt 3

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{3} - 11 x - 6}{x^{2} + x - 6}) = 2$

Schritt 4

Faktorisiere $x^{2} + x - 6$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 6$ und deren Summe $1$ ist.

$- 2, 3$

Schritt 4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\log_{2} (\frac{x^{3} - 11 x - 6}{(x - 2) (x + 3)}) = 2$

Schritt 5

Schreibe $\log_{2} (\frac{x^{3} - 11 x - 6}{(x - 2) (x + 3)}) = 2$ in Exponentialform um durch Anwendung der Definition eines Logarithmus. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b$ $\neq$ $1$ , dann ist $\log_{b} (x) = y$ äquivalent zu $b^{y} = x$ .

$2^{2} = \frac{x^{3} - 11 x - 6}{(x - 2) (x + 3)}$

Schritt 6

Multipliziere über Kreuz, um den Bruch zu entfernen.

$x^{3} - 11 x - 6 = 2^{2} ((x - 2) (x + 3))$

Schritt 7

Vereinfache $2^{2} ((x - 2) (x + 3))$ .

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Schritt 7.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 ((x - 2) (x + 3))$

Schritt 7.2

Multipliziere $(x - 2) (x + 3)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 7.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 (x (x + 3) - 2 (x + 3))$

Schritt 7.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 (x \cdot x + x \cdot 3 - 2 (x + 3))$

Schritt 7.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 (x \cdot x + x \cdot 3 - 2 x - 2 \cdot 3)$

Schritt 7.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 (x^{2} + x \cdot 3 - 2 x - 2 \cdot 3)$

Schritt 7.3.1.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 (x^{2} + 3 \cdot x - 2 x - 2 \cdot 3)$

Schritt 7.3.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 (x^{2} + 3 x - 2 x - 6)$

Schritt 7.3.2

Subtrahiere $2 x$ von $3 x$ .

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 (x^{2} + x - 6)$

Schritt 7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 x^{2} + 4 x + 4 \cdot - 6$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $4$ mit $- 6$ .

$x^{3} - 11 x - 6 = 4 x^{2} + 4 x - 24$

Schritt 8

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 8.1

Subtrahiere $4 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 11 x - 6 - 4 x^{2} = 4 x - 24$

Schritt 8.2

Subtrahiere $4 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 11 x - 6 - 4 x^{2} - 4 x = - 24$

Schritt 8.3

Subtrahiere $4 x$ von $- 11 x$ .

$x^{3} - 15 x - 6 - 4 x^{2} = - 24$

Schritt 9

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1

Stelle die Terme um.

$x^{3} - 4 x^{2} - 15 x - 6 = - 24$

Schritt 9.2

Faktorisiere $x^{3} - 4 x^{2} - 15 x - 6$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 9.2.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1$

Schritt 9.2.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Schritt 9.2.3

Setze $- 2$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $- 2$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 9.2.3.1

Setze $- 2$ in das Polynom ein.

${(- 2)}^{3} - 4 {(- 2)}^{2} - 15 \cdot - 2 - 6$

Schritt 9.2.3.2

Potenziere $- 2$ mit $3$ .

$- 8 - 4 {(- 2)}^{2} - 15 \cdot - 2 - 6$

Schritt 9.2.3.3

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$- 8 - 4 \cdot 4 - 15 \cdot - 2 - 6$

Schritt 9.2.3.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $4$ .

$- 8 - 16 - 15 \cdot - 2 - 6$

Schritt 9.2.3.5

Subtrahiere $16$ von $- 8$ .

$- 24 - 15 \cdot - 2 - 6$

Schritt 9.2.3.6

Mutltipliziere $- 15$ mit $- 2$ .

$- 24 + 30 - 6$

Schritt 9.2.3.7

Addiere $- 24$ und $30$ .

$6 - 6$

Schritt 9.2.3.8

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$0$

Schritt 9.2.4

Da $- 2$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x + 2$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 15 x - 6}{x + 2}$

Schritt 9.2.5

Dividiere $x^{3} - 4 x^{2} - 15 x - 6$ durch $x + 2$ .

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Schritt 9.2.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$6$

Schritt 9.2.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$

Schritt 9.2.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Schritt 9.2.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Schritt 9.2.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$

Schritt 9.2.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$

Schritt 9.2.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 6 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$

Schritt 9.2.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$6 x^{2}$	-	$12 x$

Schritt 9.2.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 6 x^{2} - 12 x$

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$

Schritt 9.2.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$3 x$

Schritt 9.2.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$3 x$	-	$6$

Schritt 9.2.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$3 x$	-	$6$

Schritt 9.2.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$3 x$	-	$6$
							-	$3 x$	-	$6$

Schritt 9.2.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 x - 6$

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$3 x$	-	$6$
							+	$3 x$	+	$6$

Schritt 9.2.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$6 x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	-	$6$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$6 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$6 x^{2}$	+	$12 x$
							-	$3 x$	-	$6$
							+	$3 x$	+	$6$
										$0$

Schritt 9.2.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 6 x - 3$

Schritt 9.2.6

Schreibe $x^{3} - 4 x^{2} - 15 x - 6$ als eine Menge von Faktoren.

$(x + 2) (x^{2} - 6 x - 3) = - 24$

Schritt 10

Vereinfache $(x + 2) (x^{2} - 6 x - 3)$ .

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Schritt 10.1

Multipliziere $(x + 2) (x^{2} - 6 x - 3)$ aus durch Multiplizieren jedes Terms des ersten Ausdrucks mit jedem Term des zweiten Ausdrucks.

$x \cdot x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot - 3 + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

Schritt 10.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 10.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 10.2.1.1

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.2.1.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 10.2.1.1.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{2} + x (- 6 x) + x \cdot - 3 + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

Schritt 10.2.1.1.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 2} + x (- 6 x) + x \cdot - 3 + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

Schritt 10.2.1.1.2

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{3} + x (- 6 x) + x \cdot - 3 + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

Schritt 10.2.1.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{3} - 6 x \cdot x + x \cdot - 3 + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

Schritt 10.2.1.3

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 10.2.1.3.1

Bewege $x$ .

$x^{3} - 6 (x \cdot x) + x \cdot - 3 + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

Schritt 10.2.1.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{3} - 6 x^{2} + x \cdot - 3 + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

Schritt 10.2.1.4

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x$ .

$x^{3} - 6 x^{2} - 3 \cdot x + 2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 3 = - 24$

Schritt 10.2.1.5

Mutltipliziere $- 6$ mit $2$ .

$x^{3} - 6 x^{2} - 3 x + 2 x^{2} - 12 x + 2 \cdot - 3 = - 24$

Schritt 10.2.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$x^{3} - 6 x^{2} - 3 x + 2 x^{2} - 12 x - 6 = - 24$

Schritt 10.2.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 10.2.2.1

Addiere $- 6 x^{2}$ und $2 x^{2}$ .

$x^{3} - 4 x^{2} - 3 x - 12 x - 6 = - 24$

Schritt 10.2.2.2

Subtrahiere $12 x$ von $- 3 x$ .

$x^{3} - 4 x^{2} - 15 x - 6 = - 24$

Schritt 11

Addiere $24$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} - 4 x^{2} - 15 x - 6 + 24 = 0$

Schritt 12

Addiere $- 6$ und $24$ .

$x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 18 = 0$

Schritt 13

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1

Faktorisiere $x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 18$ mithilfe des Satzes über rationale Wurzeln.

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Schritt 13.1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Schritt 13.1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

Schritt 13.1.3

Setze $1$ ein und vereinfache den Ausdruck. In diesem Fall ist der Ausdruck gleich $0$ , folglich ist $1$ eine Wurzel des Polynoms.

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Schritt 13.1.3.1

Setze $1$ in das Polynom ein.

$1^{3} - 4 \cdot 1^{2} - 15 \cdot 1 + 18$

Schritt 13.1.3.2

Potenziere $1$ mit $3$ .

$1 - 4 \cdot 1^{2} - 15 \cdot 1 + 18$

Schritt 13.1.3.3

Potenziere $1$ mit $2$ .

$1 - 4 \cdot 1 - 15 \cdot 1 + 18$

Schritt 13.1.3.4

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$1 - 4 - 15 \cdot 1 + 18$

Schritt 13.1.3.5

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- 3 - 15 \cdot 1 + 18$

Schritt 13.1.3.6

Mutltipliziere $- 15$ mit $1$ .

$- 3 - 15 + 18$

Schritt 13.1.3.7

Subtrahiere $15$ von $- 3$ .

$- 18 + 18$

Schritt 13.1.3.8

Addiere $- 18$ und $18$ .

$0$

Schritt 13.1.4

Da $1$ eine bekannte Wurzel ist, dividiere das Polynom durch $x - 1$ , um das Quotientenpolynom zu bestimmen. Dieses Polynom kann dann verwendet werden, um die restlichen Wurzeln zu finden.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 18}{x - 1}$

Schritt 13.1.5

Dividiere $x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 18$ durch $x - 1$ .

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Schritt 13.1.5.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$18$

Schritt 13.1.5.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x^{3}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$

Schritt 13.1.5.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Schritt 13.1.5.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Schritt 13.1.5.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Schritt 13.1.5.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$

Schritt 13.1.5.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$

Schritt 13.1.5.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Schritt 13.1.5.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 3 x^{2} + 3 x$

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Schritt 13.1.5.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$18 x$

Schritt 13.1.5.11

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$18 x$	+	$18$

Schritt 13.1.5.12

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $- 18 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$18 x$	+	$18$

Schritt 13.1.5.13

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$18 x$	+	$18$
							-	$18 x$	+	$18$

Schritt 13.1.5.14

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $- 18 x + 18$

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$18 x$	+	$18$
							+	$18 x$	-	$18$

Schritt 13.1.5.15

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$18$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$15 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$18 x$	+	$18$
							+	$18 x$	-	$18$
										$0$

Schritt 13.1.5.16

Da der Rest gleich $0$ ist, ist der Quotient das endgültige Ergebnis.

$x^{2} - 3 x - 18$

Schritt 13.1.6

Schreibe $x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 18$ als eine Menge von Faktoren.

$(x - 1) (x^{2} - 3 x - 18) = 0$

Schritt 13.2

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 13.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 3 x - 18$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 13.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 18$ und deren Summe $- 3$ ist.

$- 6, 3$

Schritt 13.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$(x - 1) ((x - 6) (x + 3)) = 0$

Schritt 13.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x - 1) (x - 6) (x + 3) = 0$

Schritt 14

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 3 = 0$

Schritt 15

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 15.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 15.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 16

Setze $x - 6$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 16.1

Setze $x - 6$ gleich $0$ .

$x - 6 = 0$

Schritt 16.2

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 6$

Schritt 17

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 17.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 17.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 18

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x - 1) (x - 6) (x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 1, 6, - 3$

Schritt 19

Schließe die Lösungen aus, die $\log_{2} (x + 3) + \log_{2} (x^{2} - 3 x - 2) = \log_{2} (x^{2} + x - 6) + 2$ nicht erfüllen.

$x = 6$