Algebra Beispiele

$x = y^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung als $y^{2} = x$ um.

$y^{2} = x$

Schritt 2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{x}$

Schritt 3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{x}$

Schritt 3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{x}$

Schritt 3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{x}$

$y = - \sqrt{x}$

$y = \sqrt{x}$

$y = - \sqrt{x}$

Schritt 4

Tausche die Variablen aus. Erstelle für jeden Ausdruck eine Gleichung.

$x = \sqrt{y}, x = - \sqrt{y}$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{y} = x$ um.

$\sqrt{y} = x$

Schritt 5.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y}}^{2} = x^{2}$

Schritt 5.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y}$ als $y^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 5.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 5.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = x^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2

Vereinfache.

$y = x^{2}$

Schritt 6

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = x^{2}$

Schritt 7

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ ist.

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Schritt 7.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ und $f^{- 1} (x) = x^{2}$ und vergleiche sie.

Schritt 7.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ .

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Schritt 7.2.1

Finde den Wertebereich von $\sqrt{x}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$[0, \infty)$

Schritt 7.2.2

Finde den Wertebereich von $- \sqrt{x}$ .

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Schritt 7.2.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0]$

Schritt 7.2.3

Finde die Union (Vereinigung) von $[0, \infty), (- \infty, 0]$ .

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Schritt 7.2.3.1

Die Vereinigungsmenge besteht aus allen Elementen, die in jedem Intervall enthalten sind.

$(- \infty, \infty)$

Schritt 7.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{x}$ .

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Schritt 7.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x \geq 0$

Schritt 7.3.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$[0, \infty)$

Schritt 7.4

Da der Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = x^{2}$ der Wertebereich von $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ ist und der Wertebereich von $f^{- 1} (x) = x^{2}$ der Definitionsbereich von $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = x^{2}$ die inverse Funktion von $f (x) = \sqrt{x}, - \sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2}$

Schritt 8