Algebra Beispiele

${(\frac{1}{4})}^{\frac{2 - x}{x}} > 64^{2}$

Schritt 1

Wende die Produktregel auf $\frac{1}{4}$ an.

$\frac{1^{\frac{2 - x}{x}}}{4^{\frac{2 - x}{x}}} > 64^{2}$

Schritt 2

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{4^{\frac{2 - x}{x}}} > 64^{2}$

Schritt 3

Bringe $4^{\frac{2 - x}{x}}$ in den Zähler mithilfe der Regel des negativen Exponenten $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$4^{- \frac{2 - x}{x}} > 64^{2}$

Schritt 4

Erzeuge äquivalente Ausdrücke in der Gleichung, die alle gleiche Basen haben.

$4^{- \frac{2 - x}{x}} > 4^{3 \cdot 2}$

Schritt 5

Da die Basen gleich sind, sind zwei Ausdrücke nur dann gleich, wenn die Exponenten auch gleich sind.

$- \frac{2 - x}{x} > 3 \cdot 2$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{2 - x}{x} > 6$

Schritt 6.2

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- \frac{2 - x}{x} - 6 > 0$

Schritt 6.3

Vereinfache $- \frac{2 - x}{x} - 6$ .

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Schritt 6.3.1

Um $- 6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{2 - x}{x} - 6 \cdot \frac{x}{x} > 0$

Schritt 6.3.2

Kombiniere $- 6$ und $\frac{x}{x}$ .

$- \frac{2 - x}{x} + \frac{- 6 x}{x} > 0$

Schritt 6.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- (2 - x) - 6 x}{x} > 0$

Schritt 6.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 1 \cdot 2 - - x - 6 x}{x} > 0$

Schritt 6.3.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{- 2 - - x - 6 x}{x} > 0$

Schritt 6.3.4.3

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 6.3.4.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- 2 + 1 x - 6 x}{x} > 0$

Schritt 6.3.4.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{- 2 + x - 6 x}{x} > 0$

Schritt 6.3.4.4

Subtrahiere $6 x$ von $x$ .

$\frac{- 2 - 5 x}{x} > 0$

Schritt 6.3.5

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$\frac{- 1 (2) - 5 x}{x} > 0$

Schritt 6.3.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- 5 x$ heraus.

$\frac{- 1 (2) - (5 x)}{x} > 0$

Schritt 6.3.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - (5 x)$ heraus.

$\frac{- 1 (2 + 5 x)}{x} > 0$

Schritt 6.3.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2 + 5 x}{x} > 0$

Schritt 6.4

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x = 0$

$2 + 5 x = 0$

Schritt 6.5

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 x = - 2$

Schritt 6.6

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 2$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 6.6.1

Teile jeden Ausdruck in $5 x = - 2$ durch $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Schritt 6.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 6.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 2}{5}$

Schritt 6.6.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 2}{5}$

Schritt 6.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - \frac{2}{5}$

Schritt 6.7

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = - \frac{2}{5}$

Schritt 6.8

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, - \frac{2}{5}$

Schritt 7

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{1}{4^{\frac{2 - x}{x}}} - 4096$ .

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Schritt 7.1

Setze den Nenner in $\frac{2 - x}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 7.2

Setze den Nenner in $\frac{1}{4^{\frac{2 - x}{x}}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$4^{\frac{2 - x}{x}} = 0$

Schritt 7.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 7.3.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (4^{\frac{2 - x}{x}}) = \ln (0)$

Schritt 7.3.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 7.3.3

Es gibt keine Lösung für $4^{\frac{2 - x}{x}} = 0$

Keine Lösung

Schritt 7.4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 8

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - \frac{2}{5}$

$- \frac{2}{5} < x < 0$

$x > 0$

Schritt 9

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 9.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - \frac{2}{5}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - \frac{2}{5}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 3$

Schritt 9.1.2

Ersetze $x$ durch $- 3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(\frac{1}{4})}^{\frac{2 - (- 3)}{- 3}} > 64^{2}$

Schritt 9.1.3

Die linke Seite $10.07936839$ ist nicht größer als die rechte Seite $4096$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.2

Teste einen Wert im Intervall $- \frac{2}{5} < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- \frac{2}{5} < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 0.2$

Schritt 9.2.2

Ersetze $x$ durch $- 0.2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(\frac{1}{4})}^{\frac{2 - (- 0.2)}{- 0.2}} > 64^{2}$

Schritt 9.2.3

Die linke Seite $4194304$ ist größer als die rechte Seite $4096$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 9.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 9.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 9.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

${(\frac{1}{4})}^{\frac{2 - (2)}{2}} > 64^{2}$

Schritt 9.3.3

Die linke Seite $1$ ist nicht größer als die rechte Seite $4096$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 9.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - \frac{2}{5}$ Falsch

$- \frac{2}{5} < x < 0$ Wahr

$x > 0$ Falsch

$x < - \frac{2}{5}$ Falsch

$- \frac{2}{5} < x < 0$ Wahr

$x > 0$ Falsch

Schritt 10

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$- \frac{2}{5} < x < 0$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$- \frac{2}{5} < x < 0$

Intervallschreibweise:

$(- \frac{2}{5}, 0)$

Schritt 12