Algebra Beispiele

$x^{3} + 3 x = 3 x^{2}$

Schritt 1

Subtrahiere $3 x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x^{3} + 3 x - 3 x^{2} = 0$

Schritt 2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3} + 3 x - 3 x^{2}$ heraus.

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Schritt 2.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + 3 x - 3 x^{2} = 0$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $x$ aus $3 x$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - 3 x^{2} = 0$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x^{2}$ heraus.

$x \cdot x^{2} + x \cdot 3 + x (- 3 x) = 0$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x^{2} + x \cdot 3$ heraus.

$x (x^{2} + 3) + x (- 3 x) = 0$

Schritt 2.1.5

Faktorisiere $x$ aus $x (x^{2} + 3) + x (- 3 x)$ heraus.

$x (x^{2} + 3 - 3 x) = 0$

Schritt 2.2

Stelle die Terme um.

$x (x^{2} - 3 x + 3) = 0$

Schritt 3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 x + 3 = 0$

Schritt 4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 5

Setze $x^{2} - 3 x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Setze $x^{2} - 3 x + 3$ gleich $0$ .

$x^{2} - 3 x + 3 = 0$

Schritt 5.2

Löse $x^{2} - 3 x + 3 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.2.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 5.2.2

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 3$ und $c = 3$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 3)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Potenziere $- 3$ mit $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 1 \cdot 3$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.3

Subtrahiere $12$ von $9$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.4

Schreibe $- 3$ als $- 1 (3)$ um.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (3)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ um.

$x = \frac{3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Schritt 5.2.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x = \frac{3 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 5.2.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}$

Schritt 6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (x^{2} - 3 x + 3) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{3 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{3 - i \sqrt{3}}{2}$