Algebra Beispiele

$\frac{x^{2} {(x + 5)}^{3}}{(3 - x)} \leq 0$

Schritt 1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x^{2} = 0$

${(x + 5)}^{3} = 0$

$3 - x = 0$

Schritt 2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 3

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 3.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 3.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 4

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 5

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 6

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 7.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = 3$

Schritt 8

Löse für jeden Faktor, um die Werte zu ermitteln, wo der Absolutwert-Ausdruck von negativ nach positiv wechselt.

$x = 0$

$x = - 5$

$x = 3$

Schritt 9

Fasse die Lösungen zusammen.

$x = 0, - 5, 3$

Schritt 10

Bestimme den Definitionsbereich von $\frac{x^{2} {(x + 5)}^{3}}{3 - x}$ .

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Schritt 10.1

Setze den Nenner in $\frac{x^{2} {(x + 5)}^{3}}{3 - x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$3 - x = 0$

Schritt 10.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 10.2.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x = - 3$

Schritt 10.2.2

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 10.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- x = - 3$ durch $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 10.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 10.2.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 10.2.2.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Schritt 10.2.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 10.2.2.3.1

Dividiere $- 3$ durch $- 1$ .

$x = 3$

Schritt 10.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Schritt 11

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 5$

$- 5 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Schritt 12

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 12.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 5$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 5$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 8$

Schritt 12.1.2

Ersetze $x$ durch $- 8$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 8)}^{2} {((- 8) + 5)}^{3}}{3 - (- 8)} \leq 0$

Schritt 12.1.3

Die linke Seite $- 157.\overline{09}$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 12.2

Teste einen Wert im Intervall $- 5 < x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 5 < x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 12.2.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(- 2)}^{2} {((- 2) + 5)}^{3}}{3 - (- 2)} \leq 0$

Schritt 12.2.3

Die linke Seite $21.6$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 12.3

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2$

Schritt 12.3.2

Ersetze $x$ durch $2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(2)}^{2} {((2) + 5)}^{3}}{3 - (2)} \leq 0$

Schritt 12.3.3

Die linke Seite $1372$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 12.4

Teste einen Wert im Intervall $x > 3$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 12.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 3$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 6$

Schritt 12.4.2

Ersetze $x$ durch $6$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\frac{{(6)}^{2} {((6) + 5)}^{3}}{3 - (6)} \leq 0$

Schritt 12.4.3

Die linke Seite $- 15972$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 12.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 3$ Falsch

$x > 3$ Wahr

$x < - 5$ Wahr

$- 5 < x < 0$ Falsch

$0 < x < 3$ Falsch

$x > 3$ Wahr

Schritt 13

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 5$ oder $x > 3$ oder $x = 0$

Schritt 14

Vereine die Intervalle.

$x \leq - 5 or x = 0 or x > 3$

Schritt 15

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \leq - 5 or x = 0 or x > 3$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 5] \cup [0, 0] \cup (3, \infty)$

Schritt 16