Algebra Beispiele

${(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3}{4} i)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\frac{3}{4}$ und $i$ .

${(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3 i}{4})}^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe ${(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3 i}{4})}^{2}$ als $(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3 i}{4}) (\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3 i}{4})$ um.

$(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3 i}{4}) (\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3 i}{4})$

Schritt 2

Multipliziere $(\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3 i}{4}) (\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3 i}{4})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{5}}{2} (\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3 i}{4}) + \frac{3 i}{4} (\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3 i}{4})$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{3 i}{4} + \frac{3 i}{4} (\frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3 i}{4})$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{3 i}{4} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{3 i}{4}$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{2}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{5}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{3 i}{4} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{3 i}{4}$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{3 i}{4} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{3 i}{4}$

Schritt 3.1.1.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{3 i}{4} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{3 i}{4}$

Schritt 3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{3 i}{4} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{3 i}{4}$

Schritt 3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{3 i}{4} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{3 i}{4}$

Schritt 3.1.1.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{3 i}{4} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{3 i}{4}$

Schritt 3.1.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{3 i}{4} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{3 i}{4}$

Schritt 3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{3 i}{4} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{3 i}{4}$

Schritt 3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{5^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{3 i}{4} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{3 i}{4}$

Schritt 3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5^{\frac{2}{2}}}{4} + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{3 i}{4} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{3 i}{4}$

Schritt 3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5^{1}}{4} + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{3 i}{4} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{3 i}{4}$

Schritt 3.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{3 i}{4} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{3 i}{4}$

Schritt 3.1.3

Multipliziere $\frac{\sqrt{5}}{2} \cdot \frac{3 i}{4}$ .

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Schritt 3.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{2}$ mit $\frac{3 i}{4}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} (3 i)}{2 \cdot 4} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{3 i}{4}$

Schritt 3.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{5}{4} + \frac{\sqrt{5} (3 i)}{8} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{3 i}{4}$

Schritt 3.1.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $\sqrt{5}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i}{8} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{3 i}{4}$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $\frac{3 i}{4} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{3 i}{4}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{2}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i}{8} + \frac{3 i \sqrt{5}}{4 \cdot 2} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{3 i}{4}$

Schritt 3.1.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{5}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i}{8} + \frac{3 i \sqrt{5}}{8} + \frac{3 i}{4} \cdot \frac{3 i}{4}$

Schritt 3.1.6

Multipliziere $\frac{3 i}{4} \cdot \frac{3 i}{4}$ .

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Schritt 3.1.6.1

Mutltipliziere $\frac{3 i}{4}$ mit $\frac{3 i}{4}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i}{8} + \frac{3 i \sqrt{5}}{8} + \frac{3 i (3 i)}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{5}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i}{8} + \frac{3 i \sqrt{5}}{8} + \frac{9 i i}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.3

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{5}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i}{8} + \frac{3 i \sqrt{5}}{8} + \frac{9 (i^{1} i)}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.4

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{5}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i}{8} + \frac{3 i \sqrt{5}}{8} + \frac{9 (i^{1} i^{1})}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{5}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i}{8} + \frac{3 i \sqrt{5}}{8} + \frac{9 i^{1 + 1}}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{5}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i}{8} + \frac{3 i \sqrt{5}}{8} + \frac{9 i^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 3.1.6.7

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{5}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i}{8} + \frac{3 i \sqrt{5}}{8} + \frac{9 i^{2}}{16}$

Schritt 3.1.7

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{5}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i}{8} + \frac{3 i \sqrt{5}}{8} + \frac{9 \cdot - 1}{16}$

Schritt 3.1.8

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{5}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i}{8} + \frac{3 i \sqrt{5}}{8} + \frac{- 9}{16}$

Schritt 3.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{5}{4} + \frac{3 \sqrt{5} i}{8} + \frac{3 i \sqrt{5}}{8} - \frac{9}{16}$

Schritt 3.2

Um $\frac{5}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{16} + \frac{3 \sqrt{5} i}{8} + \frac{3 i \sqrt{5}}{8}$

Schritt 3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $16$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{5}{4}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{4 \cdot 4} - \frac{9}{16} + \frac{3 \sqrt{5} i}{8} + \frac{3 i \sqrt{5}}{8}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$\frac{5 \cdot 4}{16} - \frac{9}{16} + \frac{3 \sqrt{5} i}{8} + \frac{3 i \sqrt{5}}{8}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 \cdot 4 - 9}{16} + \frac{3 \sqrt{5} i}{8} + \frac{3 i \sqrt{5}}{8}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$\frac{20 - 9}{16} + \frac{3 \sqrt{5} i}{8} + \frac{3 i \sqrt{5}}{8}$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $9$ von $20$ .

$\frac{11}{16} + \frac{3 \sqrt{5} i}{8} + \frac{3 i \sqrt{5}}{8}$

Schritt 3.6

Stelle die Terme um.

$\frac{11}{16} + \frac{3 i \sqrt{5}}{8} + \frac{3 i \sqrt{5}}{8}$

Schritt 3.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{11}{16} + \frac{6 i \sqrt{5}}{8}$

Schritt 4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $8$ .

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Schritt 4.1

Faktorisiere $2$ aus $6 i \sqrt{5}$ heraus.

$\frac{11}{16} + \frac{2 (3 i \sqrt{5})}{8}$

Schritt 4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{11}{16} + \frac{2 (3 i \sqrt{5})}{2 (4)}$

Schritt 4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{11}{16} + \frac{2 (3 i \sqrt{5})}{2 \cdot 4}$

Schritt 4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{11}{16} + \frac{3 i \sqrt{5}}{4}$