Algebra Beispiele

$\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = 5$ $\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Schritt 1

Löse in $\frac{1}{m} + \frac{1}{n} = 5$ nach $m$ auf.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\frac{1}{n}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{m} = 5 - \frac{1}{n}$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Schritt 1.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$m, 1, n$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Schritt 1.2.2

Da $m, 1, n$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 1, 1$ und anschließend für den variablen Teil $m^{1}, n^{1}$ .

Since $m, 1, n$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1, 1$ then find LCM for the variable part m,n.

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Schritt 1.2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

$1$ Notiere die Primfaktoren jeder Zahl.

$2$ Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Schritt 1.2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 1.2.5

Das kgV von $1, 1, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$1$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Schritt 1.2.6

Der Teiler von $m^{1}$ ist $m$ selbst.

$m = m$

m occurs $1$ time.

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Schritt 1.2.7

Der Teiler von $n^{1}$ ist $n$ selbst.

$n = n$

n occurs $1$ time.

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Schritt 1.2.8

Das kgV von $m^{1}, n^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$m \cdot n$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Schritt 1.2.9

Mutltipliziere $m$ mit $n$ .

$m n$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$m n$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Schritt 1.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{m} = 5 - \frac{1}{n}$ mit $m n$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 1.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{m} = 5 - \frac{1}{n}$ mit $m n$ .

$\frac{1}{m} \cdot (m n) = 5 (m n) - \frac{1}{n} \cdot (m n)$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Schritt 1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $m$ .

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Schritt 1.3.2.1.1

Faktorisiere $m$ aus $m n$ heraus.

$\frac{1}{m} \cdot (m (n)) = 5 (m n) - \frac{1}{n} \cdot (m n)$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Schritt 1.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{m} \cdot (m n) = 5 (m n) - \frac{1}{n} \cdot (m n)$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Schritt 1.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$n = 5 (m n) - \frac{1}{n} \cdot (m n)$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$n = 5 (m n) - \frac{1}{n} \cdot (m n)$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$n = 5 (m n) - \frac{1}{n} \cdot (m n)$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Schritt 1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $n$ .

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Schritt 1.3.3.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{n}$ in den Zähler.

$n = 5 m n + \frac{- 1}{n} \cdot (m n)$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Schritt 1.3.3.1.2

Faktorisiere $n$ aus $m n$ heraus.

$n = 5 m n + \frac{- 1}{n} \cdot (n m)$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Schritt 1.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$n = 5 m n + \frac{- 1}{n} \cdot (n m)$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Schritt 1.3.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$n = 5 m n - m$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$n = 5 m n - m$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$n = 5 m n - m$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$n = 5 m n - m$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Schritt 1.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.4.1

Schreibe die Gleichung als $5 m n - m = n$ um.

$5 m n - m = n$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $m$ aus $5 m n - m$ heraus.

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $m$ aus $5 m n$ heraus.

$m (5 n) - m = n$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Schritt 1.4.2.2

Faktorisiere $m$ aus $- m$ heraus.

$m (5 n) + m \cdot - 1 = n$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Schritt 1.4.2.3

Faktorisiere $m$ aus $m (5 n) + m \cdot - 1$ heraus.

$m (5 n - 1) = n$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$m (5 n - 1) = n$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Schritt 1.4.3

Teile jeden Ausdruck in $m (5 n - 1) = n$ durch $5 n - 1$ und vereinfache.

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Schritt 1.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $m (5 n - 1) = n$ durch $5 n - 1$ .

$\frac{m (5 n - 1)}{5 n - 1} = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Schritt 1.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.4.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 n - 1$ .

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Schritt 1.4.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{m (5 n - 1)}{5 n - 1} = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Schritt 1.4.3.2.1.2

Dividiere $m$ durch $1$ .

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$

Schritt 2

Ersetze alle Vorkommen von $m$ durch $\frac{n}{5 n - 1}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 2.1

Ersetze alle $m$ in $\frac{2}{m} + \frac{3}{n} = 12$ durch $\frac{n}{5 n - 1}$ .

$\frac{2}{\frac{n}{5 n - 1}} + \frac{3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache $\frac{2}{\frac{n}{5 n - 1}} + \frac{3}{n}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$2 (\frac{5 n - 1}{n}) + \frac{3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kombiniere $2$ und $\frac{5 n - 1}{n}$ .

$\frac{2 (5 n - 1)}{n} + \frac{3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{2 (5 n - 1)}{n} + \frac{3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 (5 n - 1) + 3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Schritt 2.2.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 (5 n) + 2 \cdot - 1 + 3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Schritt 2.2.1.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $2$ .

$\frac{10 n + 2 \cdot - 1 + 3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Schritt 2.2.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{10 n - 2 + 3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{10 n - 2 + 3}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Schritt 2.2.1.4

Addiere $- 2$ und $3$ .

$\frac{10 n + 1}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{10 n + 1}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{10 n + 1}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$\frac{10 n + 1}{n} = 12$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Schritt 3

Löse in $\frac{10 n + 1}{n} = 12$ nach $n$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$n, 1$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{10 n + 1}{n} = 12$ mit $n$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{10 n + 1}{n} = 12$ mit $n$ .

$\frac{10 n + 1}{n} \cdot n = 12 n$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $n$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 n + 1}{n} \cdot n = 12 n$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Schritt 3.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$10 n + 1 = 12 n$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$10 n + 1 = 12 n$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$10 n + 1 = 12 n$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$10 n + 1 = 12 n$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Bringe alle Terme, die $n$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1.1

Subtrahiere $12 n$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 n + 1 - 12 n = 0$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Schritt 3.3.1.2

Subtrahiere $12 n$ von $10 n$ .

$- 2 n + 1 = 0$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$- 2 n + 1 = 0$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 n = - 1$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $- 2 n = - 1$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 n = - 1$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 n}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 n}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Dividiere $n$ durch $1$ .

$n = \frac{- 1}{- 2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$n = \frac{- 1}{- 2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$n = \frac{- 1}{- 2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{n}{5 n - 1}$

Schritt 4

Ersetze alle Vorkommen von $n$ durch $\frac{1}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.1

Ersetze alle $n$ in $m = \frac{n}{5 n - 1}$ durch $\frac{1}{2}$ .

$m = \frac{\frac{1}{2}}{5 (\frac{1}{2}) - 1}$

$n = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $\frac{\frac{1}{2}}{5 (\frac{1}{2}) - 1}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5 (\frac{1}{2}) - 1}$

$n = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.2.1.2.1

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{2}$ .

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{5}{2} - 1}$

$n = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.1.2.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

$n = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.1.2.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

$n = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}$

$n = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.2.1.2.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{5 - 2}{2}}$

$n = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.1.2.5.2

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}}$

$n = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.1.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$m = \frac{1}{2} \cdot (1 (\frac{2}{3}))$

$n = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

$n = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$m = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$

$n = \frac{1}{2}$

Schritt 4.2.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$m = \frac{1}{3}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{1}{3}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{1}{3}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{1}{3}$

$n = \frac{1}{2}$

$m = \frac{1}{3}$

$n = \frac{1}{2}$

Schritt 5

Liste alle Lösungen auf.

$m = \frac{1}{3}, n = \frac{1}{2}$