Algebra Beispiele

$\frac{1}{x - 4} + \frac{1}{x + 3} = \frac{1}{x^{2} - x - 12}$

Schritt 1

Subtrahiere $\frac{1}{x^{2} - x - 12}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x - 4} + \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x^{2} - x - 12} = 0$

Schritt 2

Vereinfache $\frac{1}{x - 4} + \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x^{2} - x - 12}$ .

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Schritt 2.1

Faktorisiere $x^{2} - x - 12$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 12$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 4, 3$

Schritt 2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$\frac{1}{x - 4} + \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{(x - 4) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.2

Um $\frac{1}{x - 4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{1}{x - 4} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{(x - 4) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.3

Um $\frac{1}{x + 3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{1}{x - 4} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} + \frac{1}{x + 3} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{1}{(x - 4) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x - 4) (x + 3)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 2.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{x - 4}$ mit $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{x + 3}{(x - 4) (x + 3)} + \frac{1}{x + 3} \cdot \frac{x - 4}{x - 4} - \frac{1}{(x - 4) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x + 3}$ mit $\frac{x - 4}{x - 4}$ .

$\frac{x + 3}{(x - 4) (x + 3)} + \frac{x - 4}{(x + 3) (x - 4)} - \frac{1}{(x - 4) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.4.3

Stelle die Faktoren von $(x - 4) (x + 3)$ um.

$\frac{x + 3}{(x + 3) (x - 4)} + \frac{x - 4}{(x + 3) (x - 4)} - \frac{1}{(x - 4) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + 3 + x - 4}{(x + 3) (x - 4)} - \frac{1}{(x - 4) (x + 3)} = 0$

Schritt 2.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x + 3 + x - 4 - 1}{(x + 3) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.7

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{2 x + 3 - 4 - 1}{(x + 3) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.8

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$\frac{2 x - 1 - 1}{(x + 3) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.9

Subtrahiere $1$ von $- 1$ .

$\frac{2 x - 2}{(x + 3) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.10

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 2$ heraus.

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Schritt 2.10.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{2 (x) - 2}{(x + 3) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.10.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 (x) + 2 (- 1)}{(x + 3) (x - 4)} = 0$

Schritt 2.10.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{2 (x - 1)}{(x + 3) (x - 4)} = 0$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{2 (x - 1)}{(x + 3) (x - 4)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 3) (x - 4) = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 4 = 0$

Schritt 4.2

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 4.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 4.3

Setze $x - 4$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Setze $x - 4$ gleich $0$ .

$x - 4 = 0$

Schritt 4.3.2

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 4$

Schritt 4.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 3) (x - 4) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, 4$

Schritt 5

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 3, x = 4$

Schritt 6