Algebra Beispiele

$g (x) = | \frac{3}{7} (x - 4) | + 2$

Schritt 1

Bestimme den Scheitelpunkt des Absolutwerts. In diesem Fall ist der Scheitelpunkt für $y = | \frac{3 x}{7} - \frac{12}{7} | + 2$ gleich $(4, 2)$ .

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Schritt 1.1

Setze das Innere des Absolutwertes $\frac{3 x}{7} - \frac{12}{7}$ gleich $0$ , um die $x$ -Koordinate des Scheitelpunktes zu bestimmen. In diesem Fall: $\frac{3 x}{7} - \frac{12}{7} = 0$ .

$\frac{3 x}{7} - \frac{12}{7} = 0$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung $\frac{3 x}{7} - \frac{12}{7} = 0$ , um die $x$ -Koordinate der Absolutwert-Spitze zu ermitteln.

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Schritt 1.2.1

Addiere $\frac{12}{7}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3 x}{7} = \frac{12}{7}$

Schritt 1.2.2

Da der Ausdruck auf jeder Seite der Gleichung den gleichen Nenner hat, müssen die Zähler gleich sein.

$3 x = 12$

Schritt 1.2.3

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 12$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 12$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{12}{3}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{12}{3}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{12}{3}$

Schritt 1.2.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.3.1

Dividiere $12$ durch $3$ .

$x = 4$

Schritt 1.3

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4$ .

$y = | \frac{3 (4)}{7} - \frac{12}{7} | + 2$

Schritt 1.4

Vereinfache $| \frac{3 (4)}{7} - \frac{12}{7} | + 2$ .

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Schritt 1.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.4.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = | \frac{3 (4) - 12}{7} | + 2$

Schritt 1.4.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$y = | \frac{12 - 12}{7} | + 2$

Schritt 1.4.1.3

Subtrahiere $12$ von $12$ .

$y = | \frac{0}{7} | + 2$

Schritt 1.4.1.4

Dividiere $0$ durch $7$ .

$y = | 0 | + 2$

Schritt 1.4.1.5

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $0$ ist $0$ .

$y = 0 + 2$

Schritt 1.4.2

Addiere $0$ und $2$ .

$y = 2$

Schritt 1.5

Die Absolutwert-Spitze ist $(4, 2)$ .

$(4, 2)$

Schritt 2

Der Definitionsbereich umfasst alle reellen Zahlen, ausgenommen jene, für die der Ausdruck nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine reellen Zahlen, für die der Ausdruck nicht definiert ist.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, \infty)$

Aufzählende bzw. beschreibende Mengenschreibweise:

${x | x \in ℝ}$

Schritt 3

Für jeden $x$ Wert, es gibt einen $y$ Wert. Wählen Sie einige aus $x$ Werte aus der Domäne. Es wäre sinnvoller, die Werte so zu wählen, dass sie in der Nähe des $x$ Wert des Absolutwert-Scheitelpunkts.

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Schritt 3.1

Setze den $x$ -Wert $2$ in $f (x) = | \frac{3 x}{7} - \frac{12}{7} | + 2$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(2, \frac{20}{7})$ .

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Schritt 3.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f (2) = | \frac{3 (2)}{7} - \frac{12}{7} | + 2$

Schritt 3.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (2) = | \frac{3 (2) - 12}{7} | + 2$

Schritt 3.1.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (2) = | \frac{6 - 12}{7} | + 2$

Schritt 3.1.2.1.3

Subtrahiere $12$ von $6$ .

$f (2) = | \frac{- 6}{7} | + 2$

Schritt 3.1.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (2) = | - \frac{6}{7} | + 2$

Schritt 3.1.2.1.5

$- \frac{6}{7}$ ist ungefähr $- 0.\overline{857142}$ , was negativ ist, also kehre das Vorzeichen von $- \frac{6}{7}$ um und entferne den Absolutwert

$f (2) = \frac{6}{7} + 2$

Schritt 3.1.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$f (2) = \frac{6}{7} + 2 \cdot \frac{7}{7}$

Schritt 3.1.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{7}{7}$ .

$f (2) = \frac{6}{7} + \frac{2 \cdot 7}{7}$

Schritt 3.1.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (2) = \frac{6 + 2 \cdot 7}{7}$

Schritt 3.1.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$f (2) = \frac{6 + 14}{7}$

Schritt 3.1.2.5.2

Addiere $6$ und $14$ .

$f (2) = \frac{20}{7}$

Schritt 3.1.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{20}{7}$ .

$y = \frac{20}{7}$

Schritt 3.2

Setze den $x$ -Wert $3$ in $f (x) = | \frac{3 x}{7} - \frac{12}{7} | + 2$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(3, \frac{17}{7})$ .

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Schritt 3.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $3$ .

$f (3) = | \frac{3 (3)}{7} - \frac{12}{7} | + 2$

Schritt 3.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (3) = | \frac{3 (3) - 12}{7} | + 2$

Schritt 3.2.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f (3) = | \frac{9 - 12}{7} | + 2$

Schritt 3.2.2.1.3

Subtrahiere $12$ von $9$ .

$f (3) = | \frac{- 3}{7} | + 2$

Schritt 3.2.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (3) = | - \frac{3}{7} | + 2$

Schritt 3.2.2.1.5

$- \frac{3}{7}$ ist ungefähr $- 0.\overline{428571}$ , was negativ ist, also kehre das Vorzeichen von $- \frac{3}{7}$ um und entferne den Absolutwert

$f (3) = \frac{3}{7} + 2$

Schritt 3.2.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$f (3) = \frac{3}{7} + 2 \cdot \frac{7}{7}$

Schritt 3.2.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{7}{7}$ .

$f (3) = \frac{3}{7} + \frac{2 \cdot 7}{7}$

Schritt 3.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (3) = \frac{3 + 2 \cdot 7}{7}$

Schritt 3.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$f (3) = \frac{3 + 14}{7}$

Schritt 3.2.2.5.2

Addiere $3$ und $14$ .

$f (3) = \frac{17}{7}$

Schritt 3.2.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{17}{7}$ .

$y = \frac{17}{7}$

Schritt 3.3

Setze den $x$ -Wert $6$ in $f (x) = | \frac{3 x}{7} - \frac{12}{7} | + 2$ ein. In diesem Fall ist der Punkt $(6, \frac{20}{7})$ .

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Schritt 3.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $6$ .

$f (6) = | \frac{3 (6)}{7} - \frac{12}{7} | + 2$

Schritt 3.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (6) = | \frac{3 (6) - 12}{7} | + 2$

Schritt 3.3.2.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $6$ .

$f (6) = | \frac{18 - 12}{7} | + 2$

Schritt 3.3.2.1.3

Subtrahiere $12$ von $18$ .

$f (6) = | \frac{6}{7} | + 2$

Schritt 3.3.2.1.4

$\frac{6}{7}$ ist ungefähr $0.\overline{857142}$ , was positiv ist, also entferne den Absolutwert

$f (6) = \frac{6}{7} + 2$

Schritt 3.3.2.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7}{7}$ .

$f (6) = \frac{6}{7} + 2 \cdot \frac{7}{7}$

Schritt 3.3.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{7}{7}$ .

$f (6) = \frac{6}{7} + \frac{2 \cdot 7}{7}$

Schritt 3.3.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (6) = \frac{6 + 2 \cdot 7}{7}$

Schritt 3.3.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.2.5.1

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$f (6) = \frac{6 + 14}{7}$

Schritt 3.3.2.5.2

Addiere $6$ und $14$ .

$f (6) = \frac{20}{7}$

Schritt 3.3.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{20}{7}$ .

$y = \frac{20}{7}$

Schritt 3.4

Der Absolutwert kann mithilfe der Punkte um den Scheitelpunkt $(4, 2), (2, 2.86), (3, 2.43), (5, 2.43), (6, 2.86)$ graphisch dargestellt werden.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 2.86 \\ 3 & 2.43 \\ 4 & 2 \\ 5 & 2.43 \\ 6 & 2.86 \end{array}$

Schritt 4