Algebra Beispiele

$x^{6} + 6 x^{4} + 12 x^{2} + 8$

Schritt 1

Gruppiere die Terme um.

$x^{6} + 8 + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Schritt 2

Schreibe $x^{6}$ als ${(x^{2})}^{3}$ um.

${(x^{2})}^{3} + 8 + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Schritt 3

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

${(x^{2})}^{3} + 2^{3} + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x^{2}$ und $b = 2$ .

$(x^{2} + 2) ({(x^{2})}^{2} - x^{2} \cdot 2 + 2^{2}) + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 5.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x^{2} + 2) (x^{2 \cdot 2} - x^{2} \cdot 2 + 2^{2}) + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - x^{2} \cdot 2 + 2^{2}) + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 2^{2}) + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Schritt 5.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + 6 x^{4} + 12 x^{2}$

Schritt 6

Faktorisiere $6 x^{2}$ aus $6 x^{4} + 12 x^{2}$ heraus.

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Schritt 6.1

Faktorisiere $6 x^{2}$ aus $6 x^{4}$ heraus.

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + 6 x^{2} (x^{2}) + 12 x^{2}$

Schritt 6.2

Faktorisiere $6 x^{2}$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + 6 x^{2} (x^{2}) + 6 x^{2} (2)$

Schritt 6.3

Faktorisiere $6 x^{2}$ aus $6 x^{2} (x^{2}) + 6 x^{2} (2)$ heraus.

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + 6 x^{2} (x^{2} + 2)$

Schritt 7

Faktorisiere $x^{2} + 2$ aus $(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + 6 x^{2} (x^{2} + 2)$ heraus.

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Schritt 7.1

Faktorisiere $x^{2} + 2$ aus $6 x^{2} (x^{2} + 2)$ heraus.

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + (x^{2} + 2) (6 x^{2})$

Schritt 7.2

Faktorisiere $x^{2} + 2$ aus $(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4) + (x^{2} + 2) (6 x^{2})$ heraus.

$(x^{2} + 2) (x^{4} - 2 x^{2} + 4 + 6 x^{2})$

Schritt 8

Addiere $- 2 x^{2}$ und $6 x^{2}$ .

$(x^{2} + 2) (x^{4} + 4 x^{2} + 4)$

Schritt 9

Schreibe $x^{4}$ als ${(x^{2})}^{2}$ um.

$(x^{2} + 2) ({(x^{2})}^{2} + 4 x^{2} + 4)$

Schritt 10

Es sei $u = x^{2}$ . Ersetze $u$ für alle $x^{2}$ .

$(x^{2} + 2) (u^{2} + 4 u + 4)$

Schritt 11

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 11.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x^{2} + 2) (u^{2} + 4 u + 2^{2})$

Schritt 11.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Schritt 11.3

Schreibe das Polynom neu.

$(x^{2} + 2) (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2})$

Schritt 11.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = u$ und $b = 2$ .

$(x^{2} + 2) {(u + 2)}^{2}$

Schritt 12

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$(x^{2} + 2) {(x^{2} + 2)}^{2}$