Algebra Beispiele

$\frac{8}{{(x - 2)}^{2}} = \frac{4}{x^{2} - 9} + \frac{2}{3}$

Schritt 1

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\frac{4}{x^{2} - 9}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{8}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{4}{x^{2} - 9} = \frac{2}{3}$

Schritt 1.2

Subtrahiere $\frac{2}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{8}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{4}{x^{2} - 9} - \frac{2}{3} = 0$

Schritt 2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 2.1

Schreibe $9$ als $3^{2}$ um.

$\frac{8}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{4}{x^{2} - 3^{2}} - \frac{2}{3} = 0$

Schritt 2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 3$ .

$\frac{8}{{(x - 2)}^{2}} - \frac{4}{(x + 3) (x - 3)} - \frac{2}{3} = 0$

Schritt 3

Setze den Nenner in $\frac{8}{{(x - 2)}^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Schritt 4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 4.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 5

Setze den Nenner in $\frac{4}{(x + 3) (x - 3)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 3) (x - 3) = 0$

Schritt 6

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Schritt 6.2

Setze $x + 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Setze $x + 3$ gleich $0$ .

$x + 3 = 0$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 3$

Schritt 6.3

Setze $x - 3$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.3.1

Setze $x - 3$ gleich $0$ .

$x - 3 = 0$

Schritt 6.3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 3$

Schritt 6.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 3) (x - 3) = 0$ wahr machen.

$x = - 3, 3$

Schritt 7

Die Gleichung ist nicht definiert, wo der Nenner gleich $0$ , das Argument einer Quadratwurzel kleiner als $0$ oder das Argument eines Logarithmus kleiner oder gleich $0$ ist.

$x = - 3, x = 2, x = 3$

Schritt 8