Algebra Beispiele

$3 {(x - y)}^{2} + 2 y (x - y) - 5 y^{2}$

Schritt 1

Faktorisiere durch Gruppieren.

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Schritt 1.1

Für ein Polynom der Form $a x^{2} + b x + c$ schreibe den mittleren Term als eine Summe zweier Terme um, deren Produkt gleich $a \cdot c = - 5 \cdot 3 = - 15$ und deren Summe gleich $b = 2$ ist.

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Schritt 1.1.1

Stelle die Terme um.

$- 5 y^{2} + 3 {(x - y)}^{2} + 2 y (x - y)$

Schritt 1.1.2

Stelle $3 {(x - y)}^{2}$ und $2 y (x - y)$ um.

$- 5 y^{2} + 2 y (x - y) + 3 {(x - y)}^{2}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 y (x - y)$ heraus.

$- 5 y^{2} + 2 (y (x - y)) + 3 {(x - y)}^{2}$

Schritt 1.1.4

Schreibe $2$ um als $- 3$ plus $5$

$- 5 y^{2} + (- 3 + 5) (y (x - y)) + 3 {(x - y)}^{2}$

Schritt 1.1.5

Wende das Distributivgesetz an.

$- 5 y^{2} - 3 (y (x - y)) + 5 (y (x - y)) + 3 {(x - y)}^{2}$

Schritt 1.1.6

Entferne unnötige Klammern.

$- 5 y^{2} - 3 y (x - y) + 5 (y (x - y)) + 3 {(x - y)}^{2}$

Schritt 1.1.7

Entferne unnötige Klammern.

$- 5 y^{2} - 3 y (x - y) + 5 y (x - y) + 3 {(x - y)}^{2}$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(- 5 y^{2} - 3 y (x - y)) + 5 y (x - y) + 3 {(x - y)}^{2}$

Schritt 1.2.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$y (- 5 y - 3 (x - y)) - (x - y) (- 5 y - 3 (x - y))$

Schritt 1.3

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $- 5 y - 3 (x - y)$ .

$(- 5 y - 3 (x - y)) (y - (x - y))$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$(- 5 y - 3 x - 3 (- y)) (y - (x - y))$

Schritt 3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 3$ .

$(- 5 y - 3 x + 3 y) (y - (x - y))$

Schritt 4

Addiere $- 5 y$ und $3 y$ .

$(- 3 x - 2 y) (y - (x - y))$

Schritt 5

Wende das Distributivgesetz an.

$(- 3 x - 2 y) (y - x - - y)$

Schritt 6

Multipliziere $- - y$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$(- 3 x - 2 y) (y - x + 1 y)$

Schritt 6.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$(- 3 x - 2 y) (y - x + y)$

Schritt 7

Addiere $y$ und $y$ .

$(- 3 x - 2 y) (- x + 2 y)$

Schritt 8

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x - 2 y$ heraus.

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Schritt 8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x$ heraus.

$(- (3 x) - 2 y) (- x + 2 y)$

Schritt 8.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 y$ heraus.

$(- (3 x) - (2 y)) (- x + 2 y)$

Schritt 8.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x) - (2 y)$ heraus.

$- (3 x + 2 y) (- x + 2 y)$

Schritt 9

Faktorisiere.

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Schritt 9.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x + 2 y$ heraus.

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Schritt 9.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$- (3 x + 2 y) (- (x) + 2 y)$

Schritt 9.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $2 y$ heraus.

$- (3 x + 2 y) (- (x) - (- 2 y))$

Schritt 9.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - (- 2 y)$ heraus.

$- (3 x + 2 y) (- (x - 2 y))$

Schritt 9.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (3 x + 2 y) \cdot - 1 (x - 2 y)$

Schritt 10

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 10.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- ((3 x + 2 y) \cdot - 1 (x - 2 y))$

Schritt 10.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 ((3 x + 2 y) (x - 2 y))$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $3 x + 2 y$ mit $1$ .

$(3 x + 2 y) (x - 2 y)$