Algebra Beispiele

${(\frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{2}}{5} i)}^{2}$

Schritt 1

Vereinfache Terme.

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Schritt 1.1

Kombiniere $i$ und $\frac{\sqrt{2}}{5}$ .

${(\frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5})}^{2}$

Schritt 1.2

Schreibe ${(\frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5})}^{2}$ als $(\frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}) (\frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5})$ um.

$(\frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}) (\frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Schritt 2

Multipliziere $(\frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}) (\frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{5}}{5} (\frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} (\frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Schritt 2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} (\frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Schritt 2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Schritt 3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1

Multipliziere $\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

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Schritt 3.1.1.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{5}$ mit $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

$\frac{\sqrt{5} \sqrt{5}}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{5}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Schritt 3.1.1.2

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{5}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Schritt 3.1.1.3

Potenziere $\sqrt{5}$ mit $1$ .

$\frac{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{5}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Schritt 3.1.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{5}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Schritt 3.1.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{5}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Schritt 3.1.1.6

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{{\sqrt{5}}^{2}}{25} + \frac{\sqrt{5}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Schritt 3.1.2

Schreibe ${\sqrt{5}}^{2}$ als $5$ um.

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Schritt 3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{5}$ als $5^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}{25} + \frac{\sqrt{5}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Schritt 3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{25} + \frac{\sqrt{5}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Schritt 3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{5^{\frac{2}{2}}}{25} + \frac{\sqrt{5}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Schritt 3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5^{\frac{2}{2}}}{25} + \frac{\sqrt{5}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Schritt 3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5^{1}}{25} + \frac{\sqrt{5}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Schritt 3.1.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{5}{25} + \frac{\sqrt{5}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Schritt 3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $25$ .

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Schritt 3.1.3.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$\frac{5 (1)}{25} + \frac{\sqrt{5}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Schritt 3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{5}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Schritt 3.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{5}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Schritt 3.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5} + \frac{\sqrt{5}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Schritt 3.1.4

Multipliziere $\frac{\sqrt{5}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$ .

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Schritt 3.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{5}$ mit $\frac{i \sqrt{2}}{5}$ .

$\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{5} (i \sqrt{2})}{5 \cdot 5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Schritt 3.1.4.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{2 \cdot 5} i}{5 \cdot 5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Schritt 3.1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{10} i}{5 \cdot 5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Schritt 3.1.4.4

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Schritt 3.1.5

Multipliziere $- \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

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Schritt 3.1.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{5}}{5}$ mit $\frac{i \sqrt{2}}{5}$ .

$\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{5} (i \sqrt{2})}{5 \cdot 5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Schritt 3.1.5.2

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{2 \cdot 5} i}{5 \cdot 5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Schritt 3.1.5.3

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{5 \cdot 5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Schritt 3.1.5.4

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Schritt 3.1.6

Multipliziere $- \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$ .

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Schritt 3.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25} + 1 \frac{i \sqrt{2}}{5} \frac{i \sqrt{2}}{5}$

Schritt 3.1.6.2

Mutltipliziere $\frac{i \sqrt{2}}{5}$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25} + \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{5}$

Schritt 3.1.6.3

Mutltipliziere $\frac{i \sqrt{2}}{5}$ mit $\frac{i \sqrt{2}}{5}$ .

$\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25} + \frac{i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}{5 \cdot 5}$

Schritt 3.1.6.4

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25} + \frac{i^{1} i \sqrt{2} \sqrt{2}}{5 \cdot 5}$

Schritt 3.1.6.5

Potenziere $i$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25} + \frac{i^{1} i^{1} \sqrt{2} \sqrt{2}}{5 \cdot 5}$

Schritt 3.1.6.6

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25} + \frac{i^{1 + 1} \sqrt{2} \sqrt{2}}{5 \cdot 5}$

Schritt 3.1.6.7

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25} + \frac{i^{2} \sqrt{2} \sqrt{2}}{5 \cdot 5}$

Schritt 3.1.6.8

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25} + \frac{i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{5 \cdot 5}$

Schritt 3.1.6.9

Potenziere $\sqrt{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25} + \frac{i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{5 \cdot 5}$

Schritt 3.1.6.10

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25} + \frac{i^{2} {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{5 \cdot 5}$

Schritt 3.1.6.11

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25} + \frac{i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{5 \cdot 5}$

Schritt 3.1.6.12

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25} + \frac{i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{25}$

Schritt 3.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.1.7.1

Schreibe $i^{2}$ als $- 1$ um.

$\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25} + \frac{- {\sqrt{2}}^{2}}{25}$

Schritt 3.1.7.2

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 3.1.7.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25} + \frac{- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{25}$

Schritt 3.1.7.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25} + \frac{- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{25}$

Schritt 3.1.7.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25} + \frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{25}$

Schritt 3.1.7.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.1.7.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25} + \frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{25}$

Schritt 3.1.7.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25} + \frac{- 2^{1}}{25}$

Schritt 3.1.7.2.5

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25} + \frac{- 1 \cdot 2}{25}$

Schritt 3.1.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25} + \frac{- 2}{25}$

Schritt 3.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{5} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{2}{25}$

Schritt 3.2

Um $\frac{1}{5}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{5}{5} - \frac{2}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25}$

Schritt 3.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $25$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{5}{5}$ .

$\frac{5}{5 \cdot 5} - \frac{2}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $5$ .

$\frac{5}{25} - \frac{2}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25}$

Schritt 3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{5 - 2}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25}$

Schritt 3.5

Subtrahiere $2$ von $5$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25} - \frac{\sqrt{10} i}{25}$

Schritt 3.6

Subtrahiere $\frac{\sqrt{10} i}{25}$ von $- \frac{\sqrt{10} i}{25}$ .

$\frac{3}{25} - 2 \frac{\sqrt{10} i}{25}$

Schritt 4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{\sqrt{10} i}{25}$ .

$\frac{3}{25} + \frac{- 2 (\sqrt{10} i)}{25}$

Schritt 4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{3}{25} - \frac{2 \sqrt{10} i}{25}$