Algebra Beispiele

$\tan^{2} (x) - \sec (x) = 1$

Schritt 1

Schreibe $\tan^{2} (x) - \sec (x)$ als eine Differenz von Quadraten um.

$\tan^{2} (x) - {\sqrt{\sec (x)}}^{2}$

Schritt 2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \tan (x)$ und $b = \sqrt{\sec (x)}$ .

$(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)})$

Schritt 3

Löse nach $\sqrt{\sec (x)}$ auf.

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Schritt 3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.1

Vereinfache $(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)})$ .

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Schritt 3.1.1.1

Multipliziere $(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (x) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Schritt 3.1.1.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Schritt 3.1.1.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Schritt 3.1.1.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1.1.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)})$ .

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Schritt 3.1.1.2.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $\tan (x) (- \sqrt{\sec (x)})$ und $\sqrt{\sec (x)} \tan (x)$ neu an.

$\tan (x) \tan (x) - \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Schritt 3.1.1.2.1.2

Addiere $- \sqrt{\sec (x)} \tan (x)$ und $\sqrt{\sec (x)} \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) + 0 + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Schritt 3.1.1.2.1.3

Addiere $\tan (x) \tan (x)$ und $0$ .

$\tan (x) \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Schritt 3.1.1.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.1.2.2.1

Multipliziere $\tan (x) \tan (x)$ .

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Schritt 3.1.1.2.2.1.1

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Schritt 3.1.1.2.2.1.2

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Schritt 3.1.1.2.2.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${\tan (x)}^{1 + 1} + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Schritt 3.1.1.2.2.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\tan^{2} (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Schritt 3.1.1.2.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\tan^{2} (x) - \sqrt{\sec (x)} \sqrt{\sec (x)} = 1$

Schritt 3.1.1.2.2.3

Multipliziere $\sqrt{\sec (x)}$ mit $\sqrt{\sec (x)}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1.1.2.2.3.1

Bewege $\sqrt{\sec (x)}$ .

$\tan^{2} (x) - (\sqrt{\sec (x)} \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Schritt 3.1.1.2.2.3.2

Mutltipliziere $\sqrt{\sec (x)}$ mit $\sqrt{\sec (x)}$ .

$\tan^{2} (x) - {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1$

Schritt 3.2

Subtrahiere $\tan^{2} (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1 - \tan^{2} (x)$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $- {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1 - \tan^{2} (x)$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1 - \tan^{2} (x)$ durch $- 1$ .

$\frac{- {\sqrt{\sec (x)}}^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{{\sqrt{\sec (x)}}^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

Schritt 3.3.2.2

Dividiere ${\sqrt{\sec (x)}}^{2}$ durch $1$ .

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.3.1.1

Dividiere $1$ durch $- 1$ .

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = - 1 + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

Schritt 3.3.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = - 1 + \frac{\tan^{2} (x)}{1}$

Schritt 3.3.3.1.3

Dividiere $\tan^{2} (x)$ durch $1$ .

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = - 1 + \tan^{2} (x)$

Schritt 3.4

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{- 1 + \tan^{2} (x)}$

Schritt 3.5

Vereinfache $\pm \sqrt{- 1 + \tan^{2} (x)}$ .

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.5.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{- 1^{2} + \tan^{2} (x)}$

Schritt 3.5.1.2

Stelle $- 1^{2}$ und $\tan^{2} (x)$ um.

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{\tan^{2} (x) - 1^{2}}$

Schritt 3.5.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = \tan (x)$ und $b = 1$ .

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

Schritt 3.6

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.6.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$\sqrt{\sec (x)} = \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

Schritt 3.6.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$\sqrt{\sec (x)} = - \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

Schritt 3.6.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$\sqrt{\sec (x)} = \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}, - \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

Schritt 4

Löse in $\sqrt{\sec (x)} = \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Schritt 4.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 4.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\sec (x)}$ als ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Schritt 4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache ${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec^{1} (x) = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Schritt 4.2.2.1.2

Vereinfache.

$\sec (x) = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.2.3.1

Vereinfache ${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ .

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Schritt 4.2.3.1.1

Schreibe ${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ als $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ um.

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Schritt 4.2.3.1.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ als ${((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (x) = {({((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 4.2.3.1.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 4.2.3.1.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 4.2.3.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.2.3.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 4.2.3.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{1}$

Schritt 4.2.3.1.1.5

Vereinfache.

$\sec (x) = (\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$

Schritt 4.2.3.1.2

Multipliziere $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (x) = \tan (x) (\tan (x) - 1) + 1 (\tan (x) - 1)$

Schritt 4.2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 (\tan (x) - 1)$

Schritt 4.2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Schritt 4.2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.3.1.3.1.1

Multipliziere $\tan (x) \tan (x)$ .

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Schritt 4.2.3.1.3.1.1.1

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Schritt 4.2.3.1.3.1.1.2

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Schritt 4.2.3.1.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (x) = {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Schritt 4.2.3.1.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Schritt 4.2.3.1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1 \cdot \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Schritt 4.2.3.1.3.1.3

Schreibe $- 1 \tan (x)$ als $- \tan (x)$ um.

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Schritt 4.2.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Schritt 4.2.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) - 1$

Schritt 4.2.3.1.3.2

Addiere $- \tan (x)$ und $\tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + 0 - 1$

Schritt 4.2.3.1.3.3

Addiere $\tan^{2} (x)$ und $0$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1$

Schritt 4.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $\tan^{2} (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sec (x) - \tan^{2} (x) = - 1$

Schritt 4.3.2

Ersetze die $- \tan^{2} (x)$ durch $- (\sec^{2} (x) - 1)$ basierend auf der $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$\sec (x) - (\sec^{2} (x) - 1) = - 1$

Schritt 4.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

Schritt 4.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

Schritt 4.3.4

Stelle das Polynom um.

$- \sec^{2} (x) + \sec (x) + 1 = - 1$

Schritt 4.3.5

Ersetze $\sec (x)$ durch $u$ .

$- {(u)}^{2} + u + 1 = - 1$

Schritt 4.3.6

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- u^{2} + u + 1 + 1 = 0$

Schritt 4.3.7

Addiere $1$ und $1$ .

$- u^{2} + u + 2 = 0$

Schritt 4.3.8

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2} + u + 2$ heraus.

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Schritt 4.3.8.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2}$ heraus.

$- u^{2} + u + 2 = 0$

Schritt 4.3.8.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $u$ heraus.

$- u^{2} - 1 (- u) + 2 = 0$

Schritt 4.3.8.1.3

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$- u^{2} - 1 (- u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Schritt 4.3.8.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2} - 1 (- u)$ heraus.

$- (u^{2} - u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Schritt 4.3.8.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (u^{2} - u) - 1 (- 2)$ heraus.

$- (u^{2} - u - 2) = 0$

Schritt 4.3.8.2

Faktorisiere.

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Schritt 4.3.8.2.1

Faktorisiere $u^{2} - u - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 4.3.8.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 2, 1$

Schritt 4.3.8.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((u - 2) (u + 1)) = 0$

Schritt 4.3.8.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (u - 2) (u + 1) = 0$

Schritt 4.3.9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 1 = 0$

Schritt 4.3.10

Setze $u - 2$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.3.10.1

Setze $u - 2$ gleich $0$ .

$u - 2 = 0$

Schritt 4.3.10.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 2$

Schritt 4.3.11

Setze $u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 4.3.11.1

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 4.3.11.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 4.3.12

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (u - 2) (u + 1) = 0$ wahr machen.

$u = 2, - 1$

Schritt 4.3.13

Ersetze $u$ durch $\sec (x)$ .

$\sec (x) = 2, - 1$

Schritt 4.3.14

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sec (x) = 2$

$\sec (x) = - 1$

Schritt 4.3.15

Löse in $\sec (x) = 2$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.15.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (2)$

Schritt 4.3.15.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.15.2.1

Der genau Wert von $arcsec (2)$ ist $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 4.3.15.3

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 4.3.15.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 4.3.15.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 4.3.15.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 4.3.15.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 4.3.15.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 4.3.15.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.15.4.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 4.3.15.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 4.3.15.5

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

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Schritt 4.3.15.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.3.15.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.3.15.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.3.15.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.3.15.6

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4.3.16

Löse in $\sec (x) = - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 4.3.16.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (- 1)$

Schritt 4.3.16.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.16.2.1

Der genau Wert von $arcsec (- 1)$ ist $π$ .

$x = π$

Schritt 4.3.16.3

Die Sekans-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadraten zu ermitteln.

$x = 2 π - π$

Schritt 4.3.16.4

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = π$

Schritt 4.3.16.5

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

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Schritt 4.3.16.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 4.3.16.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 4.3.16.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 4.3.16.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 4.3.16.6

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4.3.17

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 4.3.18

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5

Löse in $\sqrt{\sec (x)} = - \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Schritt 5.2

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\sec (x)}$ als ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache ${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Schritt 5.2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec^{1} (x) = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Schritt 5.2.2.1.2

Vereinfache.

$\sec (x) = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache ${(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Vereinfache durch Kürzen des Exponenten mit der Wurzel.

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ an.

$\sec (x) = {(- 1)}^{2} {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.2.3.1.1.2.1

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sec (x) = 1 {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Schritt 5.2.3.1.1.2.2

Mutltipliziere ${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ mit $1$ .

$\sec (x) = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Schritt 5.2.3.1.1.3

Schreibe ${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ als $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ um.

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Schritt 5.2.3.1.1.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ als ${((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sec (x) = {({((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Schritt 5.2.3.1.1.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Schritt 5.2.3.1.1.3.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 5.2.3.1.1.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.1.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Schritt 5.2.3.1.1.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{1}$

Schritt 5.2.3.1.1.3.5

Vereinfache.

$\sec (x) = (\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$

Schritt 5.2.3.1.2

Multipliziere $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (x) = \tan (x) (\tan (x) - 1) + 1 (\tan (x) - 1)$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 (\tan (x) - 1)$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Schritt 5.2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.3.1.1

Multipliziere $\tan (x) \tan (x)$ .

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Schritt 5.2.3.1.3.1.1.1

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Schritt 5.2.3.1.3.1.1.2

Potenziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Schritt 5.2.3.1.3.1.1.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\sec (x) = {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Schritt 5.2.3.1.3.1.1.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Schritt 5.2.3.1.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $\tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1 \cdot \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Schritt 5.2.3.1.3.1.3

Schreibe $- 1 \tan (x)$ als $- \tan (x)$ um.

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Schritt 5.2.3.1.3.1.4

Mutltipliziere $\tan (x)$ mit $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Schritt 5.2.3.1.3.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) - 1$

Schritt 5.2.3.1.3.2

Addiere $- \tan (x)$ und $\tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + 0 - 1$

Schritt 5.2.3.1.3.3

Addiere $\tan^{2} (x)$ und $0$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1$

Schritt 5.3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Subtrahiere $\tan^{2} (x)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sec (x) - \tan^{2} (x) = - 1$

Schritt 5.3.2

Ersetze die $- \tan^{2} (x)$ durch $- (\sec^{2} (x) - 1)$ basierend auf der $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ -Identitätsgleichung.

$\sec (x) - (\sec^{2} (x) - 1) = - 1$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

Schritt 5.3.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

Schritt 5.3.4

Stelle das Polynom um.

$- \sec^{2} (x) + \sec (x) + 1 = - 1$

Schritt 5.3.5

Ersetze $\sec (x)$ durch $u$ .

$- {(u)}^{2} + u + 1 = - 1$

Schritt 5.3.6

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- u^{2} + u + 1 + 1 = 0$

Schritt 5.3.7

Addiere $1$ und $1$ .

$- u^{2} + u + 2 = 0$

Schritt 5.3.8

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 5.3.8.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2} + u + 2$ heraus.

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Schritt 5.3.8.1.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2}$ heraus.

$- u^{2} + u + 2 = 0$

Schritt 5.3.8.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $u$ heraus.

$- u^{2} - 1 (- u) + 2 = 0$

Schritt 5.3.8.1.3

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$- u^{2} - 1 (- u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Schritt 5.3.8.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- u^{2} - 1 (- u)$ heraus.

$- (u^{2} - u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Schritt 5.3.8.1.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (u^{2} - u) - 1 (- 2)$ heraus.

$- (u^{2} - u - 2) = 0$

Schritt 5.3.8.2

Faktorisiere.

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Schritt 5.3.8.2.1

Faktorisiere $u^{2} - u - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 5.3.8.2.1.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $- 1$ ist.

$- 2, 1$

Schritt 5.3.8.2.1.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$- ((u - 2) (u + 1)) = 0$

Schritt 5.3.8.2.2

Entferne unnötige Klammern.

$- (u - 2) (u + 1) = 0$

Schritt 5.3.9

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 1 = 0$

Schritt 5.3.10

Setze $u - 2$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.3.10.1

Setze $u - 2$ gleich $0$ .

$u - 2 = 0$

Schritt 5.3.10.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$u = 2$

Schritt 5.3.11

Setze $u + 1$ gleich $0$ und löse nach $u$ auf.

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Schritt 5.3.11.1

Setze $u + 1$ gleich $0$ .

$u + 1 = 0$

Schritt 5.3.11.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$u = - 1$

Schritt 5.3.12

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- (u - 2) (u + 1) = 0$ wahr machen.

$u = 2, - 1$

Schritt 5.3.13

Ersetze $u$ durch $\sec (x)$ .

$\sec (x) = 2, - 1$

Schritt 5.3.14

Stelle jede der Lösungen auf, um sie nach $x$ aufzulösen.

$\sec (x) = 2$

$\sec (x) = - 1$

Schritt 5.3.15

Löse in $\sec (x) = 2$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.15.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (2)$

Schritt 5.3.15.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.15.2.1

Der genau Wert von $arcsec (2)$ ist $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Schritt 5.3.15.3

DIe Sekans-Funktion ist im ersten und vierten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu finden.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Schritt 5.3.15.4

Vereinfache $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Schritt 5.3.15.4.1

Um $2 π$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 5.3.15.4.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 5.3.15.4.2.1

Kombiniere $2 π$ und $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Schritt 5.3.15.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Schritt 5.3.15.4.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.15.4.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Schritt 5.3.15.4.3.2

Subtrahiere $π$ von $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Schritt 5.3.15.5

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

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Schritt 5.3.15.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.3.15.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.3.15.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.3.15.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.3.15.6

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5.3.16

Löse in $\sec (x) = - 1$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.16.1

Bilde den inversen Sekans von beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Sekans zu ziehen.

$x = arcsec (- 1)$

Schritt 5.3.16.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.16.2.1

Der genau Wert von $arcsec (- 1)$ ist $π$ .

$x = π$

Schritt 5.3.16.3

Die Sekans-Funktion ist im zweiten und dritten Quadranten negativ. Um die zweite Lösung zu finden, subtrahiere den Referenzwinkel von $2 π$ , um die Lösung im dritten Quadraten zu ermitteln.

$x = 2 π - π$

Schritt 5.3.16.4

Subtrahiere $π$ von $2 π$ .

$x = π$

Schritt 5.3.16.5

Ermittele die Periode von $\sec (x)$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.16.5.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{2 π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{2 π}{| b |}$

Schritt 5.3.16.5.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Schritt 5.3.16.5.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Schritt 5.3.16.5.4

Dividiere $2 π$ durch $1$ .

$2 π$

Schritt 5.3.16.6

Die Periode der Funktion $\sec (x)$ ist $2 π$ , d. h., Werte werden sich alle $2 π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$x = π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5.3.17

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 5.3.18

Fasse die Ergebnisse zusammen.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6

Liste alle Lösungen auf.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 7

Schließe die Lösungen aus, die $(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) = 1$ nicht erfüllen.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , für jede Ganzzahl $n$