Algebra Beispiele

$\frac{\frac{x}{x - 2} + 1}{\frac{3}{x^{2} - 4} + 1}$

Schritt 1

Multipliziere den Zähler und Nenner des Bruches mit $(x - 2) (x^{2} - 4)$ .

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{x}{x - 2} + 1}{\frac{3}{x^{2} - 4} + 1}$ mit $\frac{(x - 2) (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)}$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} - 4)}{(x - 2) (x^{2} - 4)} \cdot \frac{\frac{x}{x - 2} + 1}{\frac{3}{x^{2} - 4} + 1}$

Schritt 1.2

Kombinieren.

$\frac{(x - 2) (x^{2} - 4) (\frac{x}{x - 2} + 1)}{(x - 2) (x^{2} - 4) (\frac{3}{x^{2} - 4} + 1)}$

Schritt 2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{(x - 2) (x^{2} - 4) \frac{x}{x - 2} + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} - 4) \frac{3}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 1}$

Schritt 3

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x - 2) (x^{2} - 4) \frac{x}{x - 2} + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} - 4) \frac{3}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 1}$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x^{2} - 4) x + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 1}{(x - 2) (x^{2} - 4) \frac{3}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 1}$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} - 4$ .

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x^{2} - 4$ aus $(x - 2) (x^{2} - 4)$ heraus.

$\frac{(x^{2} - 4) x + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 1}{(x^{2} - 4) (x - 2) \frac{3}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 1}$

Schritt 3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x^{2} - 4) x + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 1}{(x^{2} - 4) (x - 2) \frac{3}{x^{2} - 4} + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 1}$

Schritt 3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x^{2} - 4) x + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 1}{(x - 2) \cdot 3 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 1}$

Schritt 4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x^{2} - 4$ aus $(x^{2} - 4) x + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 1$ heraus.

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Schritt 4.1.1

Faktorisiere $x^{2} - 4$ aus $(x^{2} - 4) x$ heraus.

$\frac{(x^{2} - 4) (x) + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 1}{(x - 2) \cdot 3 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 1}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $x^{2} - 4$ aus $(x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 1$ heraus.

$\frac{(x^{2} - 4) (x) + (x^{2} - 4) ((x - 2) \cdot 1)}{(x - 2) \cdot 3 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 1}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $x^{2} - 4$ aus $(x^{2} - 4) (x) + (x^{2} - 4) ((x - 2) \cdot 1)$ heraus.

$\frac{(x^{2} - 4) (x + (x - 2) \cdot 1)}{(x - 2) \cdot 3 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 1}$

Schritt 4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\frac{(x^{2} - 2^{2}) (x + (x - 2) \cdot 1)}{(x - 2) \cdot 3 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 1}$

Schritt 4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2) (x + (x - 2) \cdot 1)}{(x - 2) \cdot 3 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 1}$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $x - 2$ mit $1$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2) (x + x - 2)}{(x - 2) \cdot 3 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 1}$

Schritt 4.5

Addiere $x$ und $x$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2) (2 x - 2)}{(x - 2) \cdot 3 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 1}$

Schritt 4.6

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 2$ heraus.

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Schritt 4.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x - 2) (2 (x) - 2)}{(x - 2) \cdot 3 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 1}$

Schritt 4.6.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x - 2) (2 (x) + 2 (- 1))}{(x - 2) \cdot 3 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 1}$

Schritt 4.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x - 2) (2 (x - 1))}{(x - 2) \cdot 3 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 1}$

$\frac{(x + 2) (x - 2) \cdot 2 (x - 1)}{(x - 2) \cdot 3 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 1}$

Schritt 5

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) \cdot 3 + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 1$ heraus.

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Schritt 5.1.1

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) \cdot 3$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x - 2) \cdot 2 (x - 1)}{(x - 2) (3) + (x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 1}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) (x^{2} - 4) \cdot 1$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x - 2) \cdot 2 (x - 1)}{(x - 2) (3) + (x - 2) ((x^{2} - 4) \cdot 1)}$

Schritt 5.1.3

Faktorisiere $x - 2$ aus $(x - 2) (3) + (x - 2) ((x^{2} - 4) \cdot 1)$ heraus.

$\frac{(x + 2) (x - 2) \cdot 2 (x - 1)}{(x - 2) (3 + (x^{2} - 4) \cdot 1)}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $x^{2} - 4$ mit $1$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2) \cdot 2 (x - 1)}{(x - 2) (3 + x^{2} - 4)}$

Schritt 5.3

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2) \cdot 2 (x - 1)}{(x - 2) (x^{2} - 1)}$

Schritt 5.4

Schreibe $x^{2} - 1$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{(x + 2) (x - 2) \cdot 2 (x - 1)}{(x - 2) (x^{2} - 1^{2})}$

Schritt 5.4.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2) \cdot 2 (x - 1)}{(x - 2) ((x + 1) (x - 1))}$

$\frac{(x + 2) (x - 2) \cdot 2 (x - 1)}{(x - 2) (x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 2) (x - 2) \cdot 2 (x - 1)}{(x - 2) (x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 2) \cdot 2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(x + 2) \cdot 2 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{(x + 2) \cdot 2}{x + 1}$

Schritt 6.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x + 2$ .

$\frac{2 (x + 2)}{x + 1}$