Algebra Beispiele

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 1 = \frac{7}{12}$

Schritt 1

Bringe alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und vereinfache.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $\frac{7}{12}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 1 - \frac{7}{12} = 0$

Schritt 1.2

Vereinfache $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 1 - \frac{7}{12}$ .

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Schritt 1.2.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = 0$

Schritt 1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{12 - 7}{12} = 0$

Schritt 1.2.3

Subtrahiere $7$ von $12$ .

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{5}{12} = 0$

Schritt 2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2}, x, 12, 1$

Schritt 2.2

Da $x^{2}, x, 12, 1$ sowohl Zahlen als auch Variablen enthält, sind zwei Schritte notwendig, um das kgV zu finden. Finde das kgV für den numerischen Teil $1, 1, 12, 1$ und anschließend für den variablen Teil $x^{2}, x^{1}$ .

Schritt 2.3

Das kgV ist die kleinste positive Zahl, die von all den Zahlen ohne Rest geteilt wird.

1. Notiere die Primfaktoren für jede Zahl.

2. Multipliziere jeden Faktor so oft, wie er maximal in einer der Zahlen vorkommt.

Schritt 2.4

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.5

Die Primfaktoren von $12$ sind $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Schritt 2.5.1

$12$ hat Faktoren von $2$ und $6$ .

$2 \cdot 6$

Schritt 2.5.2

$6$ hat Faktoren von $2$ und $3$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Schritt 2.6

Die Zahl $1$ ist keine Primzahl, da sie nur einen positiven Teiler hat, sich selbst.

Nicht prim

Schritt 2.7

Das kgV von $1, 1, 12, 1$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einer der Zahlen vorkommen.

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Schritt 2.8

Multipliziere $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Schritt 2.8.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \cdot 3$

Schritt 2.8.2

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$12$

Schritt 2.9

Die Teiler von $x^{2}$ sind $x \cdot x$ , was $x$ $2$ -mal mit sich selbst multipliziert ist.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ tritt $2$ -mal auf.

Schritt 2.10

Der Teiler von $x^{1}$ ist $x$ selbst.

$x^{1} = x$

$x$ occurs $1$ time.

Schritt 2.11

Das kgV von $x^{2}, x^{1}$ ist das Ergebnis, welches man erhält, wenn man alle Primfaktoren so oft multipliziert, wie sie maximal in einem der Terme vorkommen.

$x \cdot x$

Schritt 2.12

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2}$

Schritt 2.13

Das kgV von $x^{2}, x, 12, 1$ ist der numerische Teil $12$ multipliziert mit dem variablen Teil.

$12 x^{2}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{5}{12} = 0$ mit $12 x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{5}{12} = 0$ mit $12 x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (12 x^{2}) + \frac{1}{x} (12 x^{2}) + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$12 \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x} (12 x^{2}) + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Schritt 3.2.1.2

Kombiniere $12$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{12}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x} (12 x^{2}) + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Schritt 3.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.2.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{12}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x} (12 x^{2}) + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Schritt 3.2.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$12 + \frac{1}{x} (12 x^{2}) + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Schritt 3.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$12 + 12 \frac{1}{x} x^{2} + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Schritt 3.2.1.5

Kombiniere $12$ und $\frac{1}{x}$ .

$12 + \frac{12}{x} x^{2} + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Schritt 3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.1.6.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$12 + \frac{12}{x} (x \cdot x) + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Schritt 3.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 + \frac{12}{x} (x \cdot x) + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Schritt 3.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$12 + 12 x + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Schritt 3.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 3.2.1.7.1

Faktorisiere $12$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$12 + 12 x + \frac{5}{12} (12 (x^{2})) = 0 (12 x^{2})$

Schritt 3.2.1.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$12 + 12 x + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Schritt 3.2.1.7.3

Forme den Ausdruck um.

$12 + 12 x + 5 x^{2} = 0 (12 x^{2})$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere $0 (12 x^{2})$ .

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Schritt 3.3.1.1

Mutltipliziere $12$ mit $0$ .

$12 + 12 x + 5 x^{2} = 0 x^{2}$

Schritt 3.3.1.2

Mutltipliziere $0$ mit $x^{2}$ .

$12 + 12 x + 5 x^{2} = 0$

Schritt 4

Löse die Gleichung.

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Schritt 4.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 4.2

Setze die Werte $a = 5$ , $b = 12$ und $c = 12$ in die Quadratformel ein und löse nach $x$ auf.

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 12)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.3

Vereinfache.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.1.1

Potenziere $12$ mit $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 5 \cdot 12}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 5 \cdot 12$ .

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Schritt 4.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $5$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 20 \cdot 12}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 20$ mit $12$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 240}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.3.1.3

Subtrahiere $240$ von $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 96}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.3.1.4

Schreibe $- 96$ als $- 1 (96)$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 96}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.3.1.5

Schreibe $\sqrt{- 1 (96)}$ als $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{96}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{96}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.3.1.6

Schreibe $\sqrt{- 1}$ als $i$ um.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{96}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.3.1.7

Schreibe $96$ als $4^{2} \cdot 6$ um.

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Schritt 4.3.1.7.1

Faktorisiere $16$ aus $96$ heraus.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.3.1.7.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.3.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (4 \sqrt{6})}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.3.1.9

Bringe $4$ auf die linke Seite von $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 4 i \sqrt{6}}{2 \cdot 5}$

Schritt 4.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$x = \frac{- 12 \pm 4 i \sqrt{6}}{10}$

Schritt 4.3.3

Vereinfache $\frac{- 12 \pm 4 i \sqrt{6}}{10}$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{6}}{5}$

Schritt 4.4

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$x = - \frac{6 - 2 i \sqrt{6}}{5}, - \frac{6 + 2 i \sqrt{6}}{5}$

$x = \frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{6}}{5}$