Algebra Beispiele

$\sqrt{x^{2} - 4} \leq 3 - x$

Schritt 1

Um die Wurzel auf der linken Seite der Ungleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Ungleichung.

${\sqrt{x^{2} - 4}}^{2} \leq {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2

Vereinfache jede Seite der Ungleichung.

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} - 4}$ als ${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(x^{2} - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(x^{2} - 4)}^{1} \leq {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.2.1.2

Vereinfache.

$x^{2} - 4 \leq {(3 - x)}^{2}$

Schritt 2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache ${(3 - x)}^{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Schreibe ${(3 - x)}^{2}$ als $(3 - x) (3 - x)$ um.

$x^{2} - 4 \leq (3 - x) (3 - x)$

Schritt 2.3.1.2

Multipliziere $(3 - x) (3 - x)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 4 \leq 3 (3 - x) - x (3 - x)$

Schritt 2.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 4 \leq 3 \cdot 3 + 3 (- x) - x (3 - x)$

Schritt 2.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x^{2} - 4 \leq 3 \cdot 3 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x)$

Schritt 2.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 + 3 (- x) - x \cdot 3 - x (- x)$

Schritt 2.3.1.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - x \cdot 3 - x (- x)$

Schritt 2.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x - x (- x)$

Schritt 2.3.1.3.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

Schritt 2.3.1.3.1.5

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.1.3.1.5.1

Bewege $x$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

Schritt 2.3.1.3.1.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x - 1 \cdot - 1 x^{2}$

Schritt 2.3.1.3.1.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x + 1 x^{2}$

Schritt 2.3.1.3.1.7

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 3 x - 3 x + x^{2}$

Schritt 2.3.1.3.2

Subtrahiere $3 x$ von $- 3 x$ .

$x^{2} - 4 \leq 9 - 6 x + x^{2}$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Stelle so um, dass $x$ auf der linken Seite der Ungleichung steht.

$9 - 6 x + x^{2} \geq x^{2} - 4$

Schritt 3.2

Bringe alle Terme, die $x$ enthalten, auf die linke Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$9 - 6 x + x^{2} - x^{2} \geq - 4$

Schritt 3.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $9 - 6 x + x^{2} - x^{2}$ .

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Schritt 3.2.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$9 - 6 x + 0 \geq - 4$

Schritt 3.2.2.2

Addiere $9 - 6 x$ und $0$ .

$9 - 6 x \geq - 4$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die nicht $x$ enthalten, auf die rechte Seite der Ungleichung.

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Schritt 3.3.1

Subtrahiere $9$ von beiden Seiten der Ungleichung.

$- 6 x \geq - 4 - 9$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $9$ von $- 4$ .

$- 6 x \geq - 13$

Schritt 3.4

Teile jeden Ausdruck in $- 6 x \geq - 13$ durch $- 6$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.1

Teile jeden Term in $- 6 x \geq - 13$ durch $- 6$ . Wenn beide Seiten der Ungleichung mit einen negativen Wert multipliziert oder dividiert werden, kehre die Vorzeichen der Ungleichung um.

$\frac{- 6 x}{- 6} \leq \frac{- 13}{- 6}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 6$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 6 x}{- 6} \leq \frac{- 13}{- 6}$

Schritt 3.4.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x \leq \frac{- 13}{- 6}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$x \leq \frac{13}{6}$

Schritt 4

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{(x + 2) (x - 2)} - 3 + x$ .

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Schritt 4.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$(x + 2) (x - 2) \geq 0$

Schritt 4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Schritt 4.2.2

Setze $x + 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.2.1

Setze $x + 2$ gleich $0$ .

$x + 2 = 0$

Schritt 4.2.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 2$

Schritt 4.2.3

Setze $x - 2$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 4.2.3.1

Setze $x - 2$ gleich $0$ .

$x - 2 = 0$

Schritt 4.2.3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 2$

Schritt 4.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(x + 2) (x - 2) \geq 0$ wahr machen.

$x = - 2, 2$

Schritt 4.2.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$x > 2$

Schritt 4.2.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 4.2.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.2.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 4.2.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((- 4) + 2) ((- 4) - 2) \geq 0$

Schritt 4.2.6.1.3

Die linke Seite $12$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 4.2.6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.2.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 4.2.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((0) + 2) ((0) - 2) \geq 0$

Schritt 4.2.6.2.3

Die linke Seite $- 4$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 4.2.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 4.2.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 4$

Schritt 4.2.6.3.2

Ersetze $x$ durch $4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$((4) + 2) ((4) - 2) \geq 0$

Schritt 4.2.6.3.3

Die linke Seite $12$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 4.2.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 2$ Falsch

$x > 2$ Wahr

Schritt 4.2.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 2$ oder $x \geq 2$

Schritt 4.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, - 2] \cup [2, \infty)$

Schritt 5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$2 < x < \frac{13}{6}$

$x > \frac{13}{6}$

Schritt 6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < - 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < - 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 4$

Schritt 6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 4$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{{(- 4)}^{2} - 4} \leq 3 - (- 4)$

Schritt 6.1.3

Die linke Seite $3.46410161$ ist kleiner als die rechte Seite $7$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 6.2

Teste einen Wert im Intervall $- 2 < x < 2$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $- 2 < x < 2$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0$

Schritt 6.2.2

Ersetze $x$ durch $0$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{{(0)}^{2} - 4} \leq 3 - (0)$

Schritt 6.2.3

Die linke Seite ist nicht gleich der rechten Seite, was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.3

Teste einen Wert im Intervall $2 < x < \frac{13}{6}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $2 < x < \frac{13}{6}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 2.08$

Schritt 6.3.2

Ersetze $x$ durch $2.08$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{{(2.08)}^{2} - 4} \leq 3 - (2.08)$

Schritt 6.3.3

Die linke Seite $0.57131427$ ist kleiner als die rechte Seite $0.92$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

Wahr

Schritt 6.4

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{13}{6}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 6.4.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{13}{6}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 5$

Schritt 6.4.2

Ersetze $x$ durch $5$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$\sqrt{{(5)}^{2} - 4} \leq 3 - (5)$

Schritt 6.4.3

Die linke Seite $4.58257569$ ist größer als die rechte Seite $- 2$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

Falsch

Schritt 6.5

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 2$ Falsch

$2 < x < \frac{13}{6}$ Wahr

$x > \frac{13}{6}$ Falsch

$x < - 2$ Wahr

$- 2 < x < 2$ Falsch

$2 < x < \frac{13}{6}$ Wahr

$x > \frac{13}{6}$ Falsch

Schritt 7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq - 2$ oder $2 \leq x \leq \frac{13}{6}$

Schritt 8

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Ungleichungsform:

$x \leq - 2 or 2 \leq x \leq \frac{13}{6}$

Intervallschreibweise:

$(- \infty, - 2] \cup [2, \frac{13}{6}]$

Schritt 9