Algebra Beispiele

$x^{5} - 4 x^{3} + 8 x^{2} - 32$

Schritt 1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(x^{5} - 4 x^{3}) + 8 x^{2} - 32$

Schritt 1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{3} (x^{2} - 4) + 8 (x^{2} - 4)$

Schritt 2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $x^{2} - 4$ .

$(x^{2} - 4) (x^{3} + 8)$

Schritt 3

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$(x^{2} - 2^{2}) (x^{3} + 8)$

Schritt 4

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 2$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + 8)$

Schritt 5

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + 2^{3})$

Schritt 6

Da beide Terme perfekte Terme zur dritten Potenz sind, faktorisiere mithilfe der Formel für die Summe kubischer Terme, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , wobei $a = x$ und $b = 2$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}))$

Schritt 7

Faktorisiere.

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Schritt 7.1

Vereinfache.

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}))$

Schritt 7.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4))$

Schritt 7.2

Entferne unnötige Klammern.

$(x + 2) (x - 2) (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$

Schritt 8

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 8.1

Potenziere $x + 2$ mit $1$ .

${(x + 2)}^{1} (x + 2) (x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)$

Schritt 8.2

Potenziere $x + 2$ mit $1$ .

${(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1} (x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)$

Schritt 8.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

${(x + 2)}^{1 + 1} (x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)$

Schritt 8.4

Addiere $1$ und $1$ .

${(x + 2)}^{2} (x - 2) (x^{2} - 2 x + 4)$